ПРИЛОЖЕНИЕ F. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящем приложении мы коснемся ряда проблем, оставшихся за рамками наших исследований, а также наметим задачи для дальнейших исследований. Некоторые из них примыкают к рассмотренным в данной работе, другие не затрагивались нами, однако их изучение представляет интерес.

При решении задачи на ЭВМ алгоритм должен за определенное время либо обеспечить решение с заданной точностью (ограничение на время иногда бывает задано заранее), либо сигнализировать о том, что поставленная задача при данных условиях решена быть не может. Эти вопросы применительно к алгебраическим уравнениям рассматриваются в статье Lehmer [F-1].

Мы изучали лишь «чистые стратегии», т. е. применение при решении каждой задачи одной ИФ. На практике могут оказаться более эффективными «смешанные стратегии». Под этим подразумевается, например, использование различных ИФ на разных этапах вычислений (см. Korvasova [F-2]) или применение ИФ в комбинации с преобразованием, ускоряющим сходимость (см. приложение D).

Как известно, регистры ЭВМ позволяют хранить числа ограниченной длины. Ясно, что это препятствует реализации преимуществ ИФ высокого порядка в полной мере. Представляет интерес изучение различных аспектов влияния длины машинного слова на вычисления.

Специфика решаемого уравнения или применяемой ИФ может потребовать проведения по крайней мере части вычислений с многократной точностью. В частности, это относится к ИФ из гл. 6, 8 и 10. В статье Wilkinson [F-З] рассматривается задача вычисления корней плохо обусловленных многочленов, а в работе Descloux [F-4] изучается погрешность округления, возникающая при использовании итерационных методов.

Проблема выбора начального приближения для итерационного метода является одной из наиболее сложных. Полученные в этой области результаты в подавляющем большинстве относятся только к алгебраическим уравнениям (Durand [F-5, Chap. VI], Derwidue [F-6, Chap. V].

Хорошо известно, что повторное использование старой информации может привести к неустойчивости метода. Этот вопрос подробно исследован применительно к методам численного решения дифференциальных уравнений. Каков же эффект повторного использования информации в методах решения уравнений?

Отличительной чертой полученных нами методов является их локальный характер. В качестве примера глобального итерационного метода приведем метод Лагерра для решения алгебраических уравнений с вещественными корнями (Derwidue [F-7, pp. 202-217].

В наших рассуждениях всегда предполагалось, что корни изолированны и имеют определенную кратность. Обсуждение этих предположений проводится в статье Forsythe [F-8].

Для решения алгебраических уравнений и систем линейных уравнений разработаны специальные методы. Однако для других классов уравнений теория оптимальных методов отыскания корней отсутствует. Было бы очень полезно построить для методов решения уравнений теорию, аналогичную существующей теории для квадратурных формул с наименьшей оценкой погрешности (Крылов [F-9, гл. 8] ).

Значительная часть полученных нами результатов об одноточечных ИФ и одноточечных ИФ с памятью основана на интерполяции. Наша теория многоточечных ИФ основывается не на интерполяции, однако по крайней мере часть результатов может быть получена также и на базе интерполяции (см. § 8.2). Помимо изученных нами имеются и другие методы построения ИФ. Так, в монографии Korganoff [F-10] предлагается использовать для этой цели ряды Лидстона (см. также Boas, Buck [F-ll, pp. 13-14], а книге Hildebrand [F-12, pp. 411-412] — непрерывные (цепные) дроби. Возможно применение и других критериев аппроксимации, например невязки Чебышева.

В настоящей работе мы ограничились рассмотрением вещественных корней вещественных (скалярных или векторных) функций. Многие результаты могут быть без особых усилий обобщены на случай комплексных корней. Например, хорошо известно, что ИФ Ньютона пригодна и для отыскания комплексных корней. Более интересной проблемой является обобщение наших результатов на абстрактные пространства. Представляется, что такое обобщение проще всего провести для многоточечных ИФ высокого порядка, требующих не более одного обращения первой производной на каждой итерации. Переход в абстрактные пространства позволил бы взглянуть с единых позиций на многие проблемы, кажущиеся различными. Эти вопросы затронуты в работах Altman [F-13], [F-14], [F-15] и [F-16], Antosiewicz, Reinboldt [F-17], Bellman, Juncosa, Kalaba [F-18], Collatz [F-19] и [F-20], Ehrmann [F-21], Hooker, Thompson [F-22], Канторович [F-23], [F-24] и [F-25], Rail [F-26], Schmidt [F-27], J. Schroder [F-28] и [F-29], Weissinger [F-30].

Список возможных задач следует дополнить гипотезами, сформулированными в п. 6.3.1 и § 7.1.