7.3. БАЗОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

7.3.1. Вводные замечания.

В п. 5.1.3 были выведены явные формулы для образующих в случае простых нулей оптимальную базовую последовательность. В § 7.2 показано, что для кратных нулей имеют первый порядок и, следовательно, при не являеется базовой последовательностью. Ниже проводится построение оптимальной базовой последовательности ИФ для произвольного заранее известного

Поскольку кратность нуля a priori часто неизвестна, практическая ценность этих результатов ограниченна. Однако они представляют несомненный теоретический интерес и приводят к неожиданным выводам. ИФ с требуемыми свойствами получаются, если слагаемые из представления (5.17) для умножить на некоторые многочлены от Эти многочлены будут получены в явном виде; как выяснится, их коэффициенты зависят от чисел Стирлинга первого и второго рода.

Метод выведения упомянутых ИФ состоит в следующем. Пусть а — нуль кратности Положим очевидно, а является простым нулем для А. Обозначим через функцию, обратную к А. Рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 5.1.1, показывается, что ИФ

имеет порядок для любого В частности,

Отметим, что упоминается в статье Е. Schroder [7.3-11], опубликованной в 1870 г. (см. также Bodewig [7.3-2], Ostrowski [7.3-3, Chap. 8].

Формула (7.10) позволяет строить ИФ с требуемыми свойствами сколь угодно высокого порядка. Мы тем не менее рассмотрим другой подход к данной проблеме.

7.3.2. Структура Ss.

В дальнейших рассуждениях удобно использовать обозначения ИФ, в которых фигурируют явно. Так, вместо (5.17) будем писать

Положим

заметим, что нуль кратности для функции является простым нулем для функции Очевидно, оптимальная базовая последовательность для всех (в этом пункте удобнее использовать вместо Положим

Тогда (5.18) принимает вид

а из леммы 5.3 получается

Лемма 7.1. Справедливо равенство

Зададимся целью найти такие коэффициенты для которых

причем последовательность является оптимальной базовой последовательностью.

Подставив (7.14) в формулу из леммы 7.1, получим

Исключив из последнего выражения с помощью (5.18) и положив (этот параметр можно рассматривать как коэффициент при х в (7.14)), приходим к соотношению

из которого следует, что удовлетворяют разностному уравнению

с начальными условиями при при Уравнение (7.15) позволяет последовательно вычислить все и показывает, что суть многочлены от переменной Явный вид этих многочленов выводится ниже. Определим присоединенные функции

Эти функции были предложены в работе Из представления

следует, что

Подставив (7.16) в (7.13) и исключив с помощью (5.18), получим

Отсюда видно, что удовлетворяют разностному уравнению

с начальными условиями Из уравнения (7.18) заключаем, что многочлены от

Сделаем небольшое отступление и приведем некоторые определения из теории конечных разностей. Классическое изложение этой теории имеется в монографиях Jordan [7.3-5] и Riordan [7.3-6]. Используемые нами обозначения несколько отличаются от общепринятых:

восходящий факториал,

нисходящий факториал,

восходящий биномиальный коэффициент,

нисходящий биномиальный коэффициент,

числа Стирлинга первого рода,

числа Стирлинга второго рода.

Обычно числа Стирлинга первого и второго рода обозначаю! буквами разного написания, например и 5. Мы будем использовать обозначения и хотя буква обычно «зарезервирована» для многочленов Чебышева, это не приведет к путанице.

Продолжим исследование Рассмотрим производящую функцию для определяемую соотношением Ввиду (7.18) она удовлетворяет уравнению

зависящему от как от параметра. Решение уравнения (7.19) имеет вид Нетрудно проверить, что функции заданные равенством

удовлетворяют уравнению (7.18) и начальным условиям; поэтому

Замечая, что

и привлекая основную теорему алгебры многочленов, получаем

где сумма берется по всем целочисленным неотрицательным наборам для которых Вместе с тем

поэтому

Заметим, что является многочленом степени переменной

и перепишем (7.21) в виде

Положив

из последнего равенства получаем, что

Таким образом, мы вывели явный вид многочлена, задающего Нетрудно показать, что

и, следовательно,

Таким образом, представляет собой производящую функцию для относительно базовых функций Поскольку последнее соотношение эквивалентно равенству

Теперь выведем явную формулу для Поскольку при помощи (7.22) получаем

С учетом равенства

отсюда следует, что

Полученные результаты объединяет

Теорема 7.2. Пусть коэффициенты определяются уравнением

a - уравнением

Тогда выполняются соотношения:

Приводимые ниже следствия выводятся из различных утверждений теоремы 7.2; отметим, что они не исчерпывают всю совокупность свойств коэффициентов

Следствие а. Коэффициенты суть многочлены переменной степени

Доказательство следует из (7.26).

Следствие Ь.

Доказательство следует из (7.26) с учетом

Следствие с.

Доказательство следует из (7.25).

Следствие d. Если или то Доказательство. Если то по определению; при утверждение следует из (7.24).

Следствие е. Доказательство. Достаточно положить в (7.24) и применить следствие

Следствие f. (здесь символ Кронекера). Доказательство. Достаточно положить в (7.24).

Следствие g.

Доказательство. Достаточно положить в

Следствие h. Главный коэффициент разложения имеет вид

Доказательство следует из (7.26) и соотношения

Следствие i. Коэффициенты суть многочлены от степени

Доказательство следует из (7.28).

Следствие j. .

Доказательство следует из (7.28).

Следствие к. Доказательство следует из (7.23) и следствия с.

Следствие l. Главный коэффициент в разложении имеет вид

Доказательство следует из (7.28) и соотношения

Следствие m. Если то

Доказательство следует из (7.23) и следствий Следствие n.

Доказательство следует из следствия

Следствие о.

Доказательство. Для произвольной функции справедливо соотношение

Пусть тогда следовательно, показать, что Поэтому

откуда получаем требуемое утверждение.

Ввиду следствия представление

при как и ожидалось, принимает вид . Таким образом,

Следствие приводит к любопытному результату. А именно, ввиду (7.14) и (7.23)

Поэтому

7.3.3. Формулы для ...

В табл. 7.1 приведены выражения для некоторых из коэффициентов через а в табл. 7.2 — выражения для этих же коэффициентов в виде многочленов от Табл. 7.3 содержит выражения для некоторых из коэффициентов Используя табл. 7.3, равенства и формулы для из табл. 5.1, нетрудно

Таблица 7.1.

Таблица 7.2.

Таблица

получить следующие выражения для