5.5. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ ДЛЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ Es

В § 5.1 было установлено, что

В отдельных случаях для погрешности можно получить явное выражение. Так, в случае вычисления квадратного корня имеем . В общем случае погрешность а представима в виде бесконечного ряда, главный член которого совпадает с первым

слагаемым правой части (5.31), а коэффициенты ряда суть Ниже мы получим рекуррентную формулу для коэффициентов, не требующую дифференцирования. В п. 5.5.2 будет приведено одно интересное свойство этих коэффициентов.

5.5.1. Рекуррентная формула для коэффициентов.

Напомним смысл некоторых часто используемых обозначений:

Разложим в ряд по степеням (это потребуется ниже). Определим коэффициенты формулой

Используя соотношения получаем

откуда следует рекуррентная формула

позволяющая последовательно вычислить все с учетом того факта, что Отметим, что всюду на протяжении этого пункта символами обозначаются соответственно если не оговорено противное.

С помощью (5.34) нетрудно получить и явное выражение для

где а внутренняя сумма берется по всем целочисленным неотрицательным наборам удовлетворяющим равенству

Приведем несколько значений которые можно найти по формулам (5.34) или (5.35):

Теперь все готово для исследования коэффициентов ряда для погрешности. Итак, пусть коэффициенты определены формулой

Поскольку естественно предположить, что при Докажем справедливость этого предположения индукцией по 5.

Если то Предположим, что то, Подставив (5.36) в формулу

из леммы 5.3, получаем

Индукция завершена.

Подстановка (5.36) в (5.37) приводит к соотношению

После подстановки в последнее соотношение представления (5.32), перемножения рядов и приравнивания к нулю коэффициентов при получаем

Поскольку можно предполагать известными, (5.38) пригодно для нахождения Некоторые из этих формул приведены в табл. 5.3. Полученные результаты объединяет

Таблица 5.3. Выражения для

Теорема 5.4. Коэффициенты рядов

удовлетворяют уравнению

с начальными условиями

При помощи табл. 5.3 легко получить следующие выражения:

Отметим, что коэффициенты при в этих выражениях, как и следовало ожидать, оказались равными (формулы для У, приведены в табл. 5.1).

5.5.2. Теорема о, коэффициентах.

Следующая теорема может оказаться полезной при проверке таблиц для при этом она имеет в некотором смысле неожиданное следствие.

Теорема 5.5.

Доказательство. Заметим, что, поскольку при эквивалентно равенству Доказательство последнего проведем индукцией по Если то Пусть теперь

Просуммировав рекуррентные соотношения для получаем

откуда с учетом равенств при следует, что

По предположению индукции

Отсюда с учетом рекуррентной формулы (5.34) для имеем

Следствие. Для произвольного натурального выполняется соотношение

Доказательство. Очевидно,

Применяя теорему 5.5 с учетом равенства получаем

Остается заметить, что

Из (5.41) при получаем частный случай общего утверждения о суммируемости сходящегося ряда методом Чезаро.