Главная > Итерационные методы решения уравнений
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.5. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ ДЛЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ Es

В § 5.1 было установлено, что

В отдельных случаях для погрешности можно получить явное выражение. Так, в случае вычисления квадратного корня имеем . В общем случае погрешность а представима в виде бесконечного ряда, главный член которого совпадает с первым

слагаемым правой части (5.31), а коэффициенты ряда суть Ниже мы получим рекуррентную формулу для коэффициентов, не требующую дифференцирования. В п. 5.5.2 будет приведено одно интересное свойство этих коэффициентов.

5.5.1. Рекуррентная формула для коэффициентов.

Напомним смысл некоторых часто используемых обозначений:

Разложим в ряд по степеням (это потребуется ниже). Определим коэффициенты формулой

Используя соотношения получаем

откуда следует рекуррентная формула

позволяющая последовательно вычислить все с учетом того факта, что Отметим, что всюду на протяжении этого пункта символами обозначаются соответственно если не оговорено противное.

С помощью (5.34) нетрудно получить и явное выражение для

где а внутренняя сумма берется по всем целочисленным неотрицательным наборам удовлетворяющим равенству

Приведем несколько значений которые можно найти по формулам (5.34) или (5.35):

Теперь все готово для исследования коэффициентов ряда для погрешности. Итак, пусть коэффициенты определены формулой

Поскольку естественно предположить, что при Докажем справедливость этого предположения индукцией по 5.

Если то Предположим, что то, Подставив (5.36) в формулу

из леммы 5.3, получаем

Индукция завершена.

Подстановка (5.36) в (5.37) приводит к соотношению

После подстановки в последнее соотношение представления (5.32), перемножения рядов и приравнивания к нулю коэффициентов при получаем

Поскольку можно предполагать известными, (5.38) пригодно для нахождения Некоторые из этих формул приведены в табл. 5.3. Полученные результаты объединяет

Таблица 5.3. Выражения для

Теорема 5.4. Коэффициенты рядов

удовлетворяют уравнению

с начальными условиями

При помощи табл. 5.3 легко получить следующие выражения:

Отметим, что коэффициенты при в этих выражениях, как и следовало ожидать, оказались равными (формулы для У, приведены в табл. 5.1).

5.5.2. Теорема о, коэффициентах.

Следующая теорема может оказаться полезной при проверке таблиц для при этом она имеет в некотором смысле неожиданное следствие.

Теорема 5.5.

Доказательство. Заметим, что, поскольку при эквивалентно равенству Доказательство последнего проведем индукцией по Если то Пусть теперь

Просуммировав рекуррентные соотношения для получаем

откуда с учетом равенств при следует, что

По предположению индукции

Отсюда с учетом рекуррентной формулы (5.34) для имеем

Следствие. Для произвольного натурального выполняется соотношение

Доказательство. Очевидно,

Применяя теорему 5.5 с учетом равенства получаем

Остается заметить, что

Из (5.41) при получаем частный случай общего утверждения о суммируемости сходящегося ряда методом Чезаро.

1
Оглавление
email@scask.ru