3.2. ТЕОРЕМА О РЕШЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ НЕОДНОРОДНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение

с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соотэетствующее (3.7), представляет собой алгебраическое

уравнение вида

Если характеристическое уравнение (3.8) имеет только простые корни, то общим решением уравнения (3.7) будет

где корни характеристического уравнения, а -константы, определяемые начальными условиями. Нетрудно видеть, что если все корни по абсолютной величине меньше единицы, то все решения уравнения (3.7) сходятся к нулю.

Распространим этот результат на неоднородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами вида

у которых Рассмотрим сначала разностное уравнение первого порядка

Решение соответствующего характеристического уравнения имеет вид Предположим, что Пусть произвольные целые числа, для которых Справедливы соотношения

Умножив равенство, первый член которого есть на и сложив все равенства, получим

Следовательно,

Поскольку числа можно выбрать столь большими, что каждое из слагаемых правой части неравенства (3.12) станет меньше любого наперед заданного

положительного числа. Следовательно, и требуемый результат для разностных уравнений первого порядка получен.

Теперь выведем аналогичное (3.11) соотношение для разностного уравнения порядка вида (3.9). Пусть корни характеристического уравнения; произвольные целые числа, удовлетворяющие неравенству константы, значения которых будут определены позднее. Очевидно,

или

Поменяв порядок суммирования, получим

где через обозначены соответствующие суммы. Если то считается равной нулю.

Рассмотрим Эта сумма равна нулю, если являются решением соответствующего однородного разностного уравнения. Нам удобно представить в виде

константы будут определены позднее.

Рассмотрим Используя представление (3.13), получаем

Выберем константы так, чтобы коэффициент при был равен единице, а коэффициенты при обратились в нуль при С учетом это приводит к уравнениям

Используя соотношения

нетрудно показать, что система уравнений (3.14) эквивалентна системе

где символы Кронекера. Определитель этой системь является определителем Вандермонда. Следовательно, констан ты удовлетворяющие (3.14) и (3.15), существуют и представляют собой частные от деления соответствующих определителей Вандермонда. При таком выборе сводится к Но тогда

Сформулируем полученные результаты в виде леммы.

Лемма 3.3. Пусть у линейного разностного уравнения

с постоянными коэффициентами все корни характеристического уравнения простые. Положим

где корни характеристического уравнения, решение системы

- символы Кронекера. Тогда для любых номеров удовлетворяющих неравенству выполняется соотношение

Итак, мы завершили подготовку к доказательству теоремы. Теорема 3.1. Пусть у линейного разностного уравнения

с постоянными коэффициентами все корни характеристического уравнения простые и по модулю меньше единицы, а Тогда при любых начальных условиях

Доказательство. Положим

Из (3.16), (3.17) и (3.18) следует, что

В случае равенства нулю одного из корней характеристического уравнения в (3.18) следует внести очевидные изменения. Поскольку

найдется число А, для которого

Пусть произвольное фиксированное число. Так как то существует номер для которого

Зафиксируем некоторое Отметим, что не за висят от Для выбранного I найдется такое число В, что

Положим Выберем столь большим, чтобы выполнялось неравенство Тогда для всех

В приложениях нам предстоит столкнуться с ситуацией, когда последовательность в правой части неоднородного разностного уравнения сходится к некоторой ненулевой константе. Из доказанной теоремы легко следует, что все решения подобного уравнения также сходятся.

Следствие. Пусть у линейного разностного уравнения

с постоянными коэффициентами все корни характеристического уравнения простые и по абсолютной величине меньше единицы, а Тогда при любых начальных условиях

Доказательство. Положим Тогда

Обозначим . По теореме Поэтому