3.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.4.1. Введение.

Рассмотрим разностное уравнение

где К — некоторая константа, натуральное число. Прологарифмировав (3.26), получим линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет вид

Это — частный случай изучавшегося в § 3.3 уравнения при Полученные в предыдущем параграфе результаты, относящиеся к корням уравнения (3.27), являются удобным инструментом для исследования асимптотических свойств последовательности

Рассмотрим разностное уравнение

где Совпадают ли асимптотические свойства последовательностей, порожденных этим уравнением и уравнением (3.26)? Мы даем утвердительный ответ. Позже будет установлено, что разностному уравнению вида (3.28) удовлетворяют погрешности некоторых важных семейств ИФ.

В п. 3.4.3 мы покажем, что асимптотические свойства последовательностей, удовлетворяющих уравнению

при и последовательностей, удовлетворяющих (3.26) и (3.28), совпадают. Результаты, относящиеся к уравнениям вида (3.29), понадобятся нам в гл. 6. Разностные уравнения вида (3.28) и (3.29) в дальнейшем будем называть разностными уравнениями соответственно первого и второго рода.

3.4.2. Разностные уравнения первого рода.

Изучим асимптотические свойства решений разностного уравнения

где натуральное число. Покажем, что если

то при достаточно малых последовательность сходится к нулю. Заметим, что если все коэффициенты и начальные члены последовательности во, отличны от нуля, то и все члены последовательности отличны от нуля. Покажем, что существует число такое, что отношение сходится к ненулевой константе. Нетрудно доказать, что если такое существует, то оно единственно (п. 1.2.3). Положим

Поскольку всякая сходящаяся последовательность ограниченна, найдется такое что для всех В таком случае Предположим, что

Из леммы 3.1 при следует, что если то

Предположим, что отличны от нуля, и исследуем вопрос о скорости сходимости к нулю последовательности Положим

Из (3.30) следует, что

Пусть

где параметр, значение которого будет выбрано позже. Нетрудно видеть, что при введенных обозначениях при любом значении уравнение (3.34) эквивалентно уравнению

Заметим, что уравнение

является характеристическим для разностного уравнения, получаемого в результате логарифмирования (3.26). Уравнение (3.38) представляет собой частный случай уравнения

при которое исследовалось в § 3.3 в предположении Так как последнее условие выполняется при В этом случае из результатов § 3.3 следует, что все корни уравнения (3.38) простые, причем один из них положителен и больше единицы, а остальные по модулю меньше единицы. Единственный положительный корень, который мы условились обозначать в последующих рассуждениях для краткости обозначим буквой и положим Очевидно,

Пусть тогда (3.37) принимает вид

Нетрудно видеть, что коэффициенты многочлена, полученного в результате деления многочлена на Поэтому все корни характеристического уравнения, соответствующего разностному уравнению (3.41), простые и по модулю меньше единицы. Кроме того, из условия следует, что Применяя следствие теоремы 3.1, получаем

Полагая в лемме 3.10 , приходим к равенству

Наконец, сопоставление формул (3.33), (3.36), (3.40), (3.42) и (3.43) приводит к соотношению Таким образом, доказана

Теорема 3.3. Пусть в разностном уравнении

для всех натуральное число, Тогда из условия следует, что Обозначим через единственный положительный корень уравнения

и предположим, что и К отличны от нуля. Тогда

В табл. 3.1 приводятся значения корня для некоторых Отметим, что в проведенных рассуждениях мы нигде не использовали предположение о существовании порядка у последовательности т. е. такого числа для которого Если же с самого начала предположить существование то весьма просто доказывается, что удовлетворяет характеристическому уравнению (3.38),

3.4.3. Разностные уравнения второго рода.

Теперь изучим асимптотические свойства решений разностного уравнения

где

некоторые натуральные числа. Покажем, что если начальные члены достаточно малы, то и существует число такое, что последовательность сходится к ненулевой константе. В ходе рассуждений обнаружится идентичность асимптотических свойств решений уравнения (3.45) и уравнения.

рассмотренного в предыдущем пункте.

Введем обозначения

Предположим, что для всех Тогда

Предположим дополнительно, что Из леммы 3.2 при следует, что если то

Допустим, что при всех Тогда (3.45) можно представить в виде

где

Покажем, что .

В самом деле, из (3.45) следует, что Но тогда при любом поэтому .

Докажем теперь, что Из (3.45) и (3.50) видно, что

Следовательно,

Повторим аналогичную процедуру применительно ко второму члену правой части уравнения (3.51) еще раз. Остается доказать, что Но последнее очевидно ввиду (3.45).

Таким образом, поэтому Следовательно, к уравнению (3.48) применима теорема 3.3, откуда вытекает

Теорема 3.4. Пусть у разностного уравнения

натуральное число, для всех номеров Пусть, кроме того, Тогда Обозначим через единственный положительный корень уравнения

Если для всех , то