9.4. ОБСУЖДЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ВЫБОРА ИТЕРАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

В предыдущих параграфах этой главы были изучены семейства ИФ третьего и четвертого порядков. При выборе параметров этих семейств мы руководствовались следующими критериями:

a) коэффициенты ИФ должны иметь простой вид;

b) один или несколько коэффициентов должны обращаться в нуль;

c) константа асимптотики погрешности не должна зависеть от производных выше второго порядка;

d) числовые коэффициенты в выражении для константы асимптотики погрешности должны быть малы по абсолютной величине;

e) значения следует вычислять в «подходящих» точках (вычислительный критерий).

Рассмотрим еще один критерий, состоящий в том, что константа асимптотики погрешности должна быть мала для всех функций из некоторого класса. Подходящим кандидатом на роль такого класса является класс многочленов; однако класс всех многочленов слишком широк для наших целей. Поскольку все рассмотренные выше ИФ дают точный результат на многочленах первой степени, простейшей функцией, испытание ИФ на которой может привести к содержательным выводам, является многочлен второй степени Многочлен степени обладает тем свойством, что его нули распределены равномерно на окружности радиуса следовательно, расстояние между нулями уменьшается с ростом У многочлена степени наибольший интерес представляет корень остальные корни этого многочлена расположены на расстоянии от первого. Этот многочлен позволяет моделировать ситуацию «сильно» изолированного корня. Таким образом, два последних семейства многочленов, каждое из которых зависит от двух параметров, дают примеры двух основных типов распределения корней.

Ниже мы сравниваем константы асимптотики погрешности ряда ИФ третьего порядка на многочленах из перечисленных тестовых семейств. В приведенных ниже формулах через обозначены итерационные функции, через выражения для констант асимптотики погрешности, через значения констант асимптотики погрешности соответственно на функциях Для через а обозначен корень, равный нулю; для через а обозначен корень

Случай а.

Случай Ь.

Случай с.

Случай d.

Анализ соотношений (9.44) — (9.47) позволяет сделать ряд интересных выводов. Начнем со сравнения констант характеризующих погрешности ИФ на квадратичных многочленах Нетрудно видеть, что при

наименьшей среди констант является

Рассмотрим выражение для Очевидно, для больших оптимальным является выбор тогда

Вместе с тем константы растут пропорционально Аналогично для имеем

Наконец, заметим, что если известно, то при

и при

По мере возрастания от 2 до значение убывает от —1 до —4/3, а (9.52) от —1 до —6/5.

Интересно отметить, что наилучшие для всех перечисленных случаев значения располагаются в одном и том же узком интервале, причем эти значения согласуются и с вычислительным критерием По-видимому, для наилучший компромисс между критериями состоит в выборе ; при этом

Применение этих же приемов для минимизации приводит к положительным значениям что противоречит сформулированному выше принципу выбора подходящих точек для вычислений. Это наводит на мысль о том, что ИФ, вычисляющая одно значение значений имеет преимущества перед ИФ, вычисляющими значений и одно значение Представляет интерес проведение аналогичных исследований для ИФ более высокого порядка и функций с другими распределениями нулей.