ПРИЛОЖЕНИЕ Е. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

Е.1. ВВЕДЕНИЕ

Для сопоставления теоретических выводов с практикой мы провели в Bell Telephone Laboratories ряд численных экспериментов на ЭВМ IBM 7090. В настоящем приложении дано выборочное изложение полученных нами результатов.

При проведении численных экспериментов ставилась цель, во-первых, продемонстрировать практическое использование во-вторых, проверить правильность расчета теоретических оценок погрешностей. В ходе экспериментов был выявлен целый ряд ошибок, допущенных при выводе формул для погрешностей. Численное нахождение погрешностей, констант асимптотики погрешности и т. п. осуществлялось при расчетах автоматически. Таким образом, ЭВМ служила еще одним инструментом математического анализа.

Поставленные цели позволяют использовать несложные функции в качестве тестовых (чаще всего будут использоваться многочлены), причем начальное приближение можно выбирать в малой окрестности точки а. Программирование осуществлялось на Фортране, причем расчеты проводились с двойной точностью — учитывалось 16 десятичных цифр. При изложении результатов тестирования мы будем иногда ограничиваться меньшим количеством цифр. Заметим, что последняя цифра числа может оказаться неверной из-за происходящего в ходе расчетов округления, особенно на стадии перевода чисел из двоичного представления в десятичное. Исходные данные вводились с обычной (не двойной) точностью, и их перевод в двоичную систему сопровождался весьма значительной по сравнению с другими этапами вычислений погрешностью. Однако эта погрешность влияла только на первую итерацию. Выбор оказался в определенном смысле неудачным. При можно было бы достичь большей точности приближения к корню.

Во многих примерах проводится сопоставление вычисляемого значения константы асимптотики погрешности с теоретической оценкой. В ряде случаев учитываются два первых члена ряда, представляющего погрешность, а в примере Е.3 вычисляемая погрешность сравнивается с ее верхней и нижней теоретическими границами.

Для обозначения нескольких подряд стоящих одинаковых цифр используем нижний индекс; например,

Е.2. УВЕЛИЧЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ВЕРНЫХ ЦИФР

Пример Е.1. .

Константа асимптотики погрешности определяется из теоремы 7.1. В данном случае имеем линейную сходимость. Следовательно, количество верных цифр должно быть приблизительно равно (см. приложение С). Результаты расчетов на ЭВМ с начальным приближением приведены в табл.

Таблица Е.1. Результаты расчетов примера Е.1

(см. скан)

Пример Е.2. .

Константа асимптотики погрешности выводится в § 5.1. Для рассматриваемой тестовой функции В данном случае имеем квадратичную сходимость, количество верных цифр

Таблица Е.2. Результаты расчетов примера Е.2

(см. скан)

определяется по правилу приложение С). Результаты расчетов на ЭВМ с начальным приближением приведены в табл. Е.2.

Е.3. ОДНОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И ОДНОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ С ПАМЯТЬЮ

Пример

где некоторые точки из промежутка между Эти формулы рассматривались в § 4.3. Каждая из формул позволяет получить верхнюю и нижнюю оценки для погрешности приближения. В табл. Е.3 два столбца, помеченные цифрой 1, содержат верхнюю и нижнюю оценки погрешности полученные из на основе формулы а два столбца, помеченные цифрой 2, — соответствующие оценки для полученные из на основе формулы Пример

Константа асимптотики погрешности определяется соотношением (5.39). Для рассматриваемой тестовой функции Приведенные в табл. Е.4 теоретические значения для погрешности получены из

Пример

Эта ИФ рассматривалась в а ее погрешность определяется формулой (6.32). В данном случае — При расчетах на ЭВМ, результаты которых представлены в табл. Е.5, начальные приближения были заданы, а получено при помощи Теоретические оценки погрешности получены из

(кликните для просмотра скана)

Таблица Е.4. Результаты расчетов примера Е.4

(см. скан)

Таблица Е.5. Результаты расчетов примера Е.5

(см. скан)

Пример Е.6. .

Эта ИФ рассматривалась в п. 6.2.2, а ее погрешность определяется формулой (6.33). В данном случае При расчетах на ЭВМ, результаты которых представлены в табл. Е.6, начальное приближение было задано, а получено при помощи Теоретические оценки погрешности получены из

Таблица Е.6. Результаты расчетов примера Е.6

(см. скан)

Пример Е.7. .

Эта ИФ рассматривалась в п. 6.3.3. В данном случае При расчетах на ЭВМ, результаты которых представлены в табл. начальное приближение было задано, получено при помощи

Таблица Е.7. Результаты расчетов примера Е.7

(см. скан)

Пример Е.8. . В табл. Е.8 представлены результаты тестирования на этой функции шести различных ИФ (одноточечных и одноточечных с памятью). Полученные результаты характеризуют связь между порядком ИФ и количеством итераций, необходимых для достижения заданной погрешности. Вычисления прекращались, как только у очередного приближения оказывалось 16 верных десятичных цифр. В табл. Е.8 d обозначает объем информационного запроса, порядок эффективность использования информации. ИФ упорядочены по возрастанию порядка а в строке помещены одно или два начальных приближения,

(кликните для просмотра скана)

Е.4. КРАТНЫЕ КОРНИ

Пример Е.9. .

Эта ИФ была получена в § 5.1, а ее погрешность определяется теоремой 7.1. В данном случае теоретическое значение константы асимптотики погрешности равно 3/8. При расчетах было выбрано начальное приближение Итерационная последовательность сходится очень медленно; результаты первых 20 итераций представлены в табл.

Таблица Е.9. Результаты расчетов примера Е.9

Пример Е.10. .

Эта ИФ была выведена в § 7.3, а ее погрешность в § 7.4. Теоретическая оценка константы асимптотики погрешности равна 1/6; результаты расчетов на ЭВМ представлены в табл.

Таблица 10. Результаты расчетов примера Е.10

Пример Е.11. .

ИФ метода секущих имеет первый порядок для кратных нулей, даже если кратность известна. Умножение второго члена в приведенном выше представлении на любую константу не приводит при к увеличению порядка больше чем на единицу. В данном примере использована немодифицированная ИФ метода секущих. Нетрудно показать, что погрешность удовлетворяет соотношению

Положим тогда предыдущее соотношение примет вид откуда

При расчетах на ЭВМ выбраны начальные приближения 0.98 и 1.02. Результаты последних итераций представлены в табл.

Таблица Е.11. Результаты расчетов примера Е.11

Пример Е.12. .

Эта ИФ рассматривалась в § 7.6. В данном случае имеем Результаты расчетов на ЭВМ представлены в табл. начальные приближения.

Таблица Е.12. Результаты расчетов примера Е.12

(кликните для просмотра скана)

Пример Е.13. .

Эта ИФ рассматривалась в § 7.8. В данном примере правая часть соотношения равна —1.19314718. В табл. Е.13, содержащей результаты расчетов, столбец «оценка для содержит значения Заметим, что отношение сходится к нулю по логарифмическому закону. I

Е.5. МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Пример Е.14. .

Эта ИФ рассматривалась в п. 8.2.2, § 8.4 и п. 9.3.1, ее погрешность была выведена в § 8.4 и п. 9.3.1. В данном примере константа асимптотики погрешности равна 76. Результаты расчетов приведены в табл. Е.14. В

Таблица Е.14. Результаты расчетов примера Е.14

Пример Е.15. .

Это — ИФ метода секущих — метода Ньютона, которая рассматривалась в § 8.4, 8.5. В данном примере константа асимптотики погрешности равна 90.25. Результаты расчетов представлены в табл. Е.15.

Таблица Е.15. Результаты расчетов примера Е.15

Пример Е.16. .

Эта ИФ рассматривалась в § 8.5. В данном примере константа асимптотики погрешности равна 315.875. При расчетах на ЭВМ, результаты которых приведены в табл. используется представление более удобное для вычислений. 9

Таблица Е.16. Результаты расчетов примера Е.16

Пример Е.17. .

Эта ИФ рассматривалась в пп. 8.2.2 и 9.3.1, а погрешность была выведена в п. 9.3.1. В данном примере константа асимптотики

Таблица Е.17. Результаты расчетов примера Е.17

погрешности равна 28.5. Результаты расчетов представлены в табл. Е.17.

Пример Е.18. .

Эта ИФ рассматривалась в пп. 8.3.4 и 8.2.2. В данном примере константа асимптотики погрешности равна 3429.5. Результаты расчетов представлены в табл.

Таблица Е.18. Результаты расчетов примера Е.18

Пример Е.19.

Эта ИФ рассматривалась в п. 9.3.2. В данном примере константа асимптотики погрешности равна 285.79167. Результаты расчетов представлены в табл.

Таблица Е.19. Результаты расчетов примера Е.19

Пример Е.20. .

Эта ИФ рассматривалась в § 8.6. В данном примере Начальное значение плохо аппроксимирует величину — поэтому погрешность приближения ненамного отличается от погрешности (напомним, что аппроксимирует — Однако уже весьма точно аппроксимирует В табл. Е.20 столбец теоретических оценок для погрешности рассчитан при помощи Поскольку правая часть чувствительна к погрешностям величин близость к пределу на первых итерациях не наблюдается. В то же время дает хорошую оценку для погрешности.

Е.6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Здесь мы используем обозначения из гл. 11; скалярная форма записи векторных ИФ была введена в п. 11.3.3.

Пример Е.21. ,

Погрешность и на этой системе уравнений была выведена в и удовлетворяет соотношениям

Теоретические оценки погрешностей приведенные в табл. Е.21, получены подстановкой и в правую часть

Пример Е.22. В качестве тестовой используем ту же систему уравнений, что и в предыдущем примере.

Теоретические оценки для погрешностей приведенные в табл. Е.22, получены при помощи

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Пример Е.23. В качестве тестовой используем ту же систему уравнений, что и в примере Е.21.

Теоретические оценки погрешностей, приведенные в табл. Е.23, получены при помощи .