7.7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Приведем несколько результатов, характерных для этой главы.

a) , имеют первый порядок для кратных нулей.

b) , являются оптимальными; они явно зависят от кратности а их порядок не зависит от кратности.

c) Неоптимальная не зависящая (явно) от кратности ИФ может быть получена из произвольной ИФ заменой в последней и ее производных на и и соответствующие производные и.

d) ИФ , порождаемые прямой интерполяцией, зависят (явно) от кратности и при имеют нелинейный порядок.

В этом параграфе мы сделаем несколько общих замечаний. Наши рассуждения откроет следующая

Гипотеза. Невозможно построить оптимальную ИФ, не зависящую явно от порядок которой не зависит от кратности.

Мы не распространяем гипотезу на случай явной зависимости ИФ от ввиду утверждения и на случай неоптимальных ИФ ввиду утверждения с.

Приведем пример некорректного рассуждения, указывающий на необходимость соблюдать осторожность при работе с кратными корнями. Поскольку всегда предполагается, что возьмем ИФ вида Для того чтобы эта ИФ имела второй порядок, необходимо выполнение условия

Поскольку при делается вывод о том, что второе и третье слагаемые в правой части (7.54) в случае кратных корней обращаются в нуль. При этом забывают, что может быть особой точкой функции Например, для ИФ Ньютона в этом случае и при ни одно из слагаемых в правой части (7.54) не обращается в нуль. Выбор или показывает несправедливость утверждения для кратных корней.

Первоисточник проблем, вскрывшихся в ходе проведенного выше рассуждения, состоит в том, что соотношение из которого следует, что может выполняться при Поскольку эти сложности могут быть преодолены при использовании представления при этом

Предположим, что функция непрерывна в некоторой окрестности точки а. Тогда имеет второй порядок в том и только том случае, если

В частности, должно выполняться равенство

Если производная непрерывна, то (7.55) следует из (7.56). В общем случае (7.55) эквивалентно соотношению

Таким образом, доказана

Теорема 7.6. Пусть а — корень кратности Если функция непрерывна в окрестности точки а, то имеет второй порядок тогда и только тогда, когда

Если производная непрерывна в окрестности точки а, то имеет второй порядок тогда и только тогда, когда Сформулированная в этом параграфе гипотеза применительно к ИФ второго порядка означает следующее. Пусть причем непрерывно дифференцируемо по х, не зависит от производных функции кроме и не зависит явным образом от Тогда равенство не может выполняться одновременно для всех функции имеющих в точке а нуль кратности

В § 7.8 будет построена функция зависящая только от и для которой однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой в точке а.