11.2. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОБРАТНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Нетрудно получить формальное выражение для а в виде ряда. Предположим, что якобиан не обращается в нуль в окрестности точки а. Обозначим через 
обратную к 
функцию; тогда
Разложив правую часть (11.12) в ряд Тейлора, получим
Целесообразно выразить ряд (11.13) только через 
Заметим, что
Обозначим через 
элементы матрицы 
Нетрудно доказать, что
В самом деле, ввиду (11.14)
Подстановка (11.17) в (11.16) дает
Отсюда имеем
где 
символы Кронекера, а 
элементы матрицы Якоби для 
Из (11.18) сразу же следует (11.15).
Используя операторное тождество
получаем
Наконец, подстановка (11.14), (11.15) и (11.19) в (11.13) дает искомое разложение
Если в правой части (11.20) оставить только два первых члена, то получим ИФ
обобщающую ИФ Ньютона на случай систем уравнений. Из способа построения (11.21) видно, что векторная ИФ Ньютона имеет второй порядок; в § 11.3 это будет доказано непосредственно.
Заметим, что уравнение с комплексной неизвестной можно свести к системе двух вещественных уравнений с двумя вещественными неизвестными. Это объясняет особый интерес к системам второго порядка
В случае 
обратная матрица Якоби, фигурирующая в (11.21), вычисляется в явном виде, и вместо (11.21) имеем
