ГЛАВА 9. МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ. ПРОДОЛЖЕНИЕ
В гл. 8 рассматривались разнообразные методы построения многоточечных ИФ. В этой главе изучаются два семейства ИФ специального вида. ИФ этих семейств зависят от набора параметров, часть которых выбирается из соображений, связанных с порядком, а остальные — с целью придания этим ИФ некоторых полезных свойств.
ИФ первого семейства вычисляют на каждой итерации несколько значений 
и только одно значение производной 
а ИФ второго семейства — несколько значений производной 
и одно значение 
9.1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим семейство ИФ
где
Нетрудно видеть, что ИФ (9.1) обобщает ИФ (8.42); последняя получается из первой при 
для всех 
Если параметры 
выбрать так, что 
то 
В дальнейшем изложении условия на параметры будут формулироваться и из других соображений. Заметим, что условие 
выполняется автоматически. Следовательно, число параметров превышает число ограничений, что может быть использовано для придания 
желаемых свойств.
Второе семейство ИФ задается соотношением
где
Если значения параметров выбраны так, что 
то 
Как и в предыдущем случае, условис 
выполняется автоматически. ИФ этого семейства вычисляют на каждой итерации 
значений производной 
и только одно значение 
что удобно для нахождения с их помощью нулей функций, заданных в виде интегралов.
Частный случай (9.2) при 
рассматривался в статье Микеладзе 9.1-1]. В этой работе приведено только одно решение
а оценка для погрешности не приводится вовсе.
ИФ (9.2) допускает любопытную интерпретацию. Нетрудно показать, что из соотношения 
следует, что 
Пусть 
определяется равенством
Заметим, что 
- средневзвешенное величин, обратных к производным. Из представления 
видно, что 
обобщает ИФ Ньютона в смысле замены в последней 
на средневзвешенное величин, обратных к производным.
Исчерпывающее исследование семейств (9.1) и (9.2) в теоретическом плане не вызывает трудностей, однако получение соотношений, связывающих коэффициенты ИФ высоких порядков из этих семейств, оказывается весьма нелегким делом. Поэтому ограничимся рассмотрением (9.1) и (9.2) для третьего и четвертого порядков. Это позволяет ввести и более простые обозначения.
Разумеется, помимо (9.1) и (9.2) существует много других семейств ИФ, заслуживающих изучения. Например, было бы интересно изучить семейство, простейшим представителем которого является ИФ
мы, однако, ограничимся семействами (9.1) и (9.2).
