11.3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ НЕКОТОРЫХ ВЕКТОРНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

В пп. 11.3.1 и 11.3.2 исследуются порядок и константы асимптотики погрешности двух конкретных векторных ИФ. Аналогичные методы применимы к другим векторным ИФ, рассмотренным в п. 11.3.3. В п. 11.3.4 приведены результаты испытания векторных ИФ на тестовой системе уравнений. Теоремы итерационного исчисления из § 2.3 допускают обобщение на многомерный случай, однако этот вопрос останется за рамками наших рассмотрений.

11.3.1. Векторная итерационная функция Ньютона.

Как и раньще, элементы матрицы Якоби для обозначаются через

а элементы обратной к матрицы — через По определению

где символ Кронекера. Дифференцируя векторную ИФ Ньютона

легко убедиться, что она имеет по меньшей мере второй порядок, и вычислить константу асимптотики погрешности этой ИФ. В самом деле, зафиксируем произвольные значения тогда

Подставим в (11.24). Второе слагаемое в правой части (11.24) обратится в нуль, поскольку а третье слагаемое в силу (11.22) равно Следовательно,

поэтому векторная ИФ Ньютона имеет по меньшей мере второй порядок.

Зафиксируем теперь произвольные значения индексов тогда

Дифференцирование выражения (11.22) по переменной приводит к равенству

Из формулы (11.26) после подстановки с учетом равенства (11.27) получаем

Заметим, что, поскольку матрица Якоби обобщает на многомерный случай первую производную, а обратная матрица с элементами обобщает соотношение (11.28) можно рассматривать как обобщение на многомерный случай соотношения справедливого для скалярной ИФ

Ньютона. Положим

Подстановка (11.28) в разложение (11.10) с учетом (11.29) приводит к соотношению

где стоящие в скобках верхние индексы обозначают номер итерации, а есть компонента вектора погрешности, соответствующего итерации. Соотношение (11.30) представляет собой обобщение на многомерный случай оценки погрешности итерации ИФ Ньютона, имеющей в скалярном случае вид

11.3.2. Итерационная функция третьего порядка.

Обобщим на многомерный случай ИФ (8.42) при В одномерном случае эта ИФ представима в виде

Наиболее естественное обобщение ИФ (11.31) на случай систем уравнений выглядит следующим образом:

Заметим, что векторная ИФ Ньютона; поэтому

Поскольку и -элементы взаимно обратных матриц, первое из уравнений (11.32) можно представить в виде

В последующих выкладках используются также равенства

Зафиксируем произвольные значения индексов дифференцируя (11.34) по получаем

Из (11.33) и (11.35) имеем

По предположению якобиан не обращается в нуль в окрестности точки а; поэтому из последнего равенства заключаем, что

Дифференцируя (11.36) по переменной приходим к уравнению

Отметим, что, поскольку справедливы равенства

Из уравнения (11.38) с учетом (11.33), (11.35), (11.37) и (11.39) получаем

Следовательно, имеет по меньшей мере третий порядок. Дифференцируя (11.38) по переменной и используя (11.33), (11.35), (11.37), (11.39) и (11.40), приходим к уравнению

где определены в (11.29). Принимая во внимание, что элементы взаимно обратных матриц, а последние два индекса у допускают перестановку, получаем из (11.41) уравнение

Положим

Подстановка (11.42) в (11.10) приводит к равенству

Очевидно, (11.44) обобщает на многомерный случай соотношение (8.43), представимое при в виде

11.3.3. Некоторые другие векторные итерационные функции.

Обобщение на многомерный случай ИФ (8.42) и (8.43) проводится аналогично. Пусть

причем первый индекс у обозначает номер компоненты, а второй — номер итерации при формировании ИФ. Положим

для определим с помощью рекуррентного соотношения

Тогда

причем то же, что и в (11.45). Очевидно, (11.48) вместе с (11.46) и (11.47) обобщает на многомерный случай соотношение (8.43).

В пп. 11.3.1 и 11.3.2 мы на примере двух векторных ИФ подробно изложили методику нахождения порядка и константы асимптотики погрешности. Для ряда других векторных ИФ, обобщающих скалярные ИФ из гл. 8, 9, мы ограничимся только формулировкой соответствующих результатов. Все обобщаемые скалярные ИФ обладают следующими двумя свойствами:

a) они используют значения только

b) их константы асимптотики погрешности зависят только от отношения

При обобщении на многомерный случай ИФ, обладающих этими свойствами, все формулы можно оставить неизменными, если изменить смысл входящих в них обозначений: считать х,

а и векторами соответствующей размерности, векторными функциями векторных аргументов, матрицей Якоби, а -матрицей, обратной к матрице Якоби. Наиболее трудно дать интерпретацию соотношению Проведенные выше выкладки показывают, что в многомерном случае это выражение следует рассматривать аналогично (11.48) как -мерную квадратичную форму.

Таблица 11.1. Некоторые ИФ, использующие значения только константы асимптотики погрешности которых зависят только от

В табл. 11.1 представлены несколько скалярных ИФ не выше четвертого порядка, удовлетворяющих требованиям пп. а) и Эти ИФ можно обобщить на многомерный случай, приписав иной смысл входящим в их формулы обозначениям по аналогии с тем, как это было сделано выше. Подчеркнем, что многие ИФ из гл. 8, 9 допускают обобщение на многомерный случай; ИФ, включенные в табл. 11.1, имеют особенно простые выражения для констант асимптотики погрешности.

11.3.4. Тестовая система уравнений.

В этом пункте приводятся численные значения элементов матриц (11.46) -(11.47) для конкретной тестовой системы уравнений. Величина параметра в выражении зависит от конкретной например, для последней ИФ из табл. 11.1 имеем . В качестве тестовой выберем систему уравнений, полученных приравниванием к нулю действительной и мнимой частей

комплексного многочлена

Нас будет интересовать решение Напомним, что

где элементы матрицы, обратной к матрице Якоби а по всем повторяющимся индексам проводится суммирование от 1 до Приведем значения в точке параметров полученных по формулам (11.50) для системы уравнений (11.49):

Ниже выписаны соотношения для погрешностей пяти ИФ из табл. 11.1. Для каждой ИФ представлены следующие сведения:

a) формулы, выражающие ИФ и константу асимптотики погрешности; смысл обозначений соответствует разъяснениям, приведенным в конце п. 11.3.3;

b) общее выражение для погрешности;

c) погрешность на тестовой системе уравнений (11.49).

(кликните для просмотра скана)