5.3. БАЗОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ, ПОРОЖДАЕМЫХ ПРЯМОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ

В § 5.1 была изучена базовая последовательность порождаемых обратной интерполяцией в одной точке. Рассмотрим теперь базовую последовательность порождаемых прямой интерполяцией в одной точке. Недостаток последних состоит в том, что для на каждой итерации приходится решать алгебраическое уравнение степени . В то же время эти ИФ точны для любого многочлена степени не выше . В п. 5.3.3 рассматривается способ понижения степени упомянутого алгебраического уравнения, сохраняющий порядок ИФ.

5.3.1. Базовая последовательность

Итерационные функции рассматривались в При эти ИФ не имеют «памяти». В дальнейших рассуждениях предполагается выполнение выведенных в условий сходимости порождаемой последовательности. В отличие от общего случая, потребовавшего тонких рассуждений, доказательство того, что имеет порядок оказывается почти тривиальным.

В целях автономности относящегося к материала нам придется повторить некоторые начальные сведения. Пусть многочлен, первые производных которого совпадают в точке с соответствующими производными функции Тогда

где

а точка расположена между Пусть выбор очередного приближения удовлетворяет уравнению

Обозначим через отображение заключающееся в выборе некоторого вещественного корня уравнения (5.23); тогда Порядок и константа асимптотики погрешности находятся без труда. В самом деле, введя обозначения и положив в получаем

Из соотношения где точка расположена между следует, что

Предположим, что не обращается в нуль в промежутке между не обращается в нуль на некотором интервале, содержащем всю итерационную последовательность. Заметим, что Поэтому

Поскольку целое, знаки модуля в (5.24) опущены. Из (5.24) следует, что образуют базовую последовательность.

5.3.2. Итерационная функция

Как уже отмечалось, есть ИФ Ньютона. Рассмотрим теперь ИФ Эта ИФ изучалась в работе Cauchy [5.3-1], а также в Hitotumatu [5.3-2]. Очередное приближение в данном случае удовлетворяет квадратному уравнению

поэтому

Корень а является неподвижной точкой ИФ в том и только том случае, если в формуле для выбирается знак при и знак при При указанном выборе знаков отличается от только членами порядка Таким образом,

При сумма двух последних слагаемых в правой части (5.26) стремится к нулю, что затрудняет проведение вычислений по этой формуле в малой окрестности точки а. Этих трудностей можно избежать, если воспользоваться тождеством

и преобразовать (5.26) к виду

Очевидно, последнее представление является наилучшим с точки зрения вычислений. В то время как школьников из поколения в поколение учат избавляться от иррациональности в знаменателе, в данном случае к наилучшим результатам приводит как раз искусственное внесение иррациональности в знаменатель.

Обобщенные условия Фурье из теоремы 4.2 принимают в случае особенно простой вид. А именно, предположим, что на некотором содержащем итерационную

последовательность интервале; тогда при итерационная последовательность монотонно сходится к а справа, а при слева.

5.3.3. Понижение степени.

Выше мы видели, что применение требует на каждой итерации решения алгебраического уравнения степени . Покажем, что степень решаемого алгебраического уравнения можно понизить таким образом, что изменится лишь константа асимптотики погрешности, а порядок сходимости останется прежним.

В самом деле, заменим один из множителей вида в члене на (напомним, что Ньютона) и положим

Покажем, что основанная на формуле имеет порядок хотя степень относительно равна Из соотношений

нетрудно заключить, что

где некоторая точка из интервала между а и х. Определим посредством Тогда где некоторая точка из интервала между Предположим, что не обращается в нуль. Тогда из условия следует, что

Пример 5.5. При имеем уравнение Соотношение (5.28) принимает вид поэтому Мы снова получили ИФ Хэлли, на этот раз посредством линеаризации уравнения второй

степени. Из (5.29) следует, что

это совпадает с результатами п. 5.2.1.

Пример 5.6. При получаем уравнение

или откуда

В силу (5.29)

Соотношение (5.30) можно получить и разложением в ряд по степеням и с последующим применением леммы 5.2.

Существует немало других способов понижения степени многочлена обеспечивающих сохранение порядка ИФ. Так, при замене одного из множителей вида на в члене порядок и константа асимптотики погрешности не изменятся, хотя степень решаемого алгебраического уравнения понижается на единицу. Ограничимся рассмотрением еще двух примеров.

Пример 5.7. Заменив в многочлене множитель на получим Эта ИФ совпадает с

Пример 5.8. В многочлене

вместо одного из множителей в члене подставим а вместо в члене подставим Тогда

и мы получаем выведенную в § 5.1.