А.5. ПОГРЕШНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ

А.5.1. Обсуждение.

Пусть Обозначим через единственный многочлен степени удовлетворяющий условиям

Пусть служит аппроксимацией для Выражения для были получены в § А.4. В данном параграфе

в предположении непрерывности даются два различных доказательства формулы для погрешности этой аппроксимации. В случае результат хорошо известен (Hildebrand [А.5-1, р. 67]).

Напомним две формулы, выражающие погрешность интерполяции:

где - некоторая точка интервала, заданного точками и

Соблазнительно попытаться получить оценку разности продифференцировав ту или иную формулу раз по переменной с последующей подстановкой Однако в обоих случаях нас ожидают трудности. Так, зависимость не является непрерывной, и сама возможность дифференцирования соотношения нуждается в обосновании. Впрочем, можно легко преобразовать в непрерывную функцию (этот вопрос для случая обсуждается также в работе Ralston [А.5-2]). Искомый результат легко получить дифференцированием выражения если предположить непрерывность Если же ограничиться предположением о непрерывности то придется преодолеть некоторые трудности (см. п. А.5.3).

Если исходить из условий то доказательство формулы для погрешности можно провести аналогично известному доказательству формулы В п. А.5.2 использован именно этот прием.

А.5.2. Первое доказательство формулы для погрешности.

Предлагаемое доказательство опирается на следующее обобщение теоремы Ролля. Пусть производная непрерывна на интервале, содержащем точки где нуль кратности функции Тогда для производная имеет в интервале, заданном точками по меньшей мере нулей. В частности, в этом интервале найдется точка , для которой

Доказательство подобного утверждения имеется в книге Ostrowski [А.5-3, р. 1].

Теорема Пусть , а производная непрерывна на интервале, заданном точками

Обозначим через единственный многочлен степени удовлетворяющий условиям

Тогда

где некоторая точка из интервала, заданного точками

Доказательство. Положим Поскольку

отлично от нуля, мы можем определить величину К формулой

Пусть

Нетрудно видеть, что имеет нуль кратности в точке и нули кратности в точках Всего функция имеет по меньшей мере нулей; следовательно, найдется точка , такая, что Учитывая, что степень многочлена равна имеем

Сопоставив и получаем утверждение теоремы.

А.5.3. Второе доказательство формулы для погрешности.

Второе доказательство теоремы А.1 основано на дифференцировании соотношения Нам потребуются две леммы. Лемма А.1. Пусть Тогда

Доказательство проведем индукцией по переменной Если то

Предположим, что соотношение выполнено при таком случае

Отсюда получаем

Лемма A.2. Пусть а производная непрерывна на интервале, содержащем точки Тогда

Замечание 1. Если предположить, что производная непрерывна, то доказывается тривиально. В этом случае

откуда с учетом ограниченности всякой непрерывной функции на замкнутом интервале сразу следует

Замечание 2. Для доказательства леммы достаточно в предположении непрерывности доказать, что

где по-прежнему

Доказательство приведем индукцией по Из предыдущей леммы имеем

Дифференцируя это тождество по переменной получаем

Заметим, что

где некоторые точки из промежутка между Поэтому

Предположим теперь, что выполняется при Из предыдущей леммы имеем

Дифференцируя это тождество раз, приходим к тождеству

откуда

По предположению индукции

Из последнего соотношения с учетом равенства

получаем

Доказанные леммы позволяют перейти ко второму доказательству теоремы А.1.

Второе доказательство теоремы А.1. Положим

тогда

где

Очевидно,

Остается доказать, что

Для доказательства последнего равенства заметим, что где некоторая ограниченная в рассматриваемом интервале функция, и воспользуемся леммой 2.

Из полученных результатов следует формула

где — некоторая точка из интервала, содержащего точки