8.2. ОДНА ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ

В этом параграфе при помощи интерполяции будет получен ряд многоточечных ИФ. Рассмотрим сначала одну новую постановку задачи интерполяции.

8.2.1. Новая интерполяционная формула.

Повторим вкратце основные свойства интерполяционной формулы Тейлора. Зафиксируем некоторое тогда интерполяционный многочлен Тейлора степени определяется условиями Можно охарактеризовать этот многочлен и таким способом: для всякого многочлена степени не выше Отметим, что зависит явно от значений первых производных функции в точке х.

Сформулируем новую задачу интерполяции: построить интерполяционную функцию для которой но которая зависит явно от значений производной Иными словами, мы хотим построить интерполяционную функцию, которая зависела бы явно не от производных высших порядков, а от производных низших порядков интерполируемой функции в нескольких точках. При этом не требуется, чтобы интерполяционная функция была многочленом.

Рассмотрим простой пример. Пусть

Ввиду того что

справедливо представление

Поэтому для интерполяционной функции

не зависящей явно от выполняются соотношения

Рассмотрим интерполяционную функцию общего вида

где при условиях

Нетрудно показать, что эти условия оказываются выполненными, если параметры удовлетворяют системе

где биномиальные коэффициенты.

Интерполяционные функции вида (8.4) имеют многочисленные приложения, рассмотрение которых выходит за рамки данной работы. Отметим, что они допускают естественное обобщение на случай нескольких независимых переменных. Представляется желательным введение некоторых дополнительных ограничений на однако это усложнило бы вопрос о существовании у системы (8.6) решения.

Для наших целей ограничимся рассмотрением интерполяционных функций вида

являющихся частным случаем (8.4). Для вида (8.7) равенство выполняется автоматически. Равенства приводят к системе

В дальнейшем предполагаем, что Тогда (8.8) представляет собой систему из линейных уравнений относительно неизвестных с определителем Вандермонда, зависящим от Для любого набора попарно различных неизвестные определяются из системы (8.8) однозначно.

Таким образом, рассмотрение частного случая сформулированной в этом параграфе интерполяционной задачи привело к выводу о существовании зависящих от параметров интерполяционных функций, для которых выполняются условия причем явно зависит от одного значения значений Приложение этих результатов к построению многоточечных ИФ рассматривается в

8.2.2. Приложение к построению многоточечных итерационных функций.

Ограничимся рассмотрением интерполяционных функций (8.7) в случае Тогда

Если параметры удовлетворяют системе

то . Данная система имеет решение при любом Если то и

что совпадает с (8.3). Если то и

Эта формула была получена в статье Hummel, Seebeck [8.2-1]. В книге Whittaker, Watson [8.2-2, p. 125] утверждается, что (8.10) является частным случаем формулы, полученной Дарбу.

Нетрудно видеть, что для из (8.9) корень уравнения удовлетворяет соотношению

Поскольку член в правой части (8.11) умножается на то замена на где дает вполне удовлетворительный результат. Проводя эту замену, мы фактически аппроксимируем с помощью ИФ Ньютона . Положим

Нетрудно показать, что имеет третий порядок, хотя использует только одно значение и два значения Мы неоднократно встретимся с этой ИФ в дальнейшем. допускает следующую геометрическую интерпретацию: задает пересечение с осью абсцисс прямой, которая проходит через точку и параллельна касательной к графику функции проведенной в точке

Нетрудно видеть, что для из (8.10) корень уравнения удовлетворяет соотношению

Положив в правой части и, получим ИФ третьего порядка

Назовем выражение ньютоновым отображением точки х. ИФ вида (8.14) обобщает ИФ Ньютона в том смысле, что онаполучается из ИФ Ньютона в результате замены значения на полусумму значений производной в точке х и точке, заданной ньютоновым отображением точки х.

Рассмотренные интерполяционные формулы можно записать и с использованием обратной функции Тогда вместо (8.10) получаем

Пусть тогда

Аппроксимируя посредством получим ИФ

имеющую третий порядок. Эта ИФ обобщает ИФ Ньютона в том смысле, что получена из последней заменой на полусумму величин, обратных к значениям производной в точках х и ньютонова отображения х.

Данная ИФ имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть точка, делящая пополам отрезок касательной к графику заключённый между точками Нетрудно видеть, что задает точку пересечения с осью абсцисс прямой, проходящей через точку и параллельной к графику в точке