6.2. ОДНОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ С ПАМЯТЬЮ, ПОРОЖДАЕМЫЕ АППРОКСИМАЦИЕИ ПРОИЗВОДНОЙ

6.2.1. ИФ метода секущих и ее обобщение.

Выше для получения одноточечных ИФ с памятью использовалась прямая и обратная интерполяция; в частности, было показано, что ИФ метода секущих можно вывести на основе как прямой, так и обратной интерполяции. Приведем еще два способа построения ИФ метода секущих. Положенный в их основу метод наряду с методом интерполяции является общим методом построения одноточечных ИФ с памятью.

Представляется, что ИФ метода секущих и ее незначительные модификации делает первенство с ИФ Хэлли (см. § 5.2) по частоте «переоткрытия». Эта ИФ рассматривается в работах Bachmann [6.2-1], Collatz [6.2-2, Chap. Ill], Hsu [6.2-3], Jeeves [6.2-4], Ostrowski [6.2-5, Chap. 3], Putzer [6.2-6]. По-видимому, порядок этой ИФ был впервые получен в 1954 г. Бахманом (Bachman [6.2-7]).

Обозначим через функцию, обратную к Тогда ИФ Ньютона представима в виде

Эта ИФ использует два элемента информации и имеет второй порядок. Аппроксимируем значением производной многочлена первой степени

значения которого совпадают со значениями в точках у и Для удобства используем символы у и как равноправные. Подставив вместо в (6.3), получаем ИФ метода секущих

Другой способ построения ИФ метода секущих основывается на формуле Аппроксимируя значением производной многочлена первой степени

значения которого совпадают со значениями в точках снова получаем ИФ метода секущих.

В ходе дальнейшего изложения эти методы будут развиты в двух следующих направлениях:

а) вместо аппроксимации первой производной в оптимальной ИФ второго порядка будет применяться аппроксимация производной в оптимальной ИФ порядка;

b) вместо аппроксимации первой производной по двум значениям функции будет применяться аппроксимация производной по (одному новому и ранее вычисленным) значениям первых производных.

В общем случае аппроксимация и приводит к разным первый из этих способов рассматривается в п. 6.2.2, второй — в п. 6.2.3. После изучения метода аппроксимации производной применительно к оптимальной базовой последовательности ИФ мы сможем перейти к случаю произвольных оптимальных ИФ. Получаемые данным методом одноточечные ИФ с памятью будем называть итерационными функциями, порождаемыми аппроксимацией производной.

6.2.2. Аппроксимация ...

Сначала изучим одноточечные ИФ с памятью, порождаемые аппроксимацией отсюда легко получить соответствующие результаты для произвольных оптимальных ИФ. В п. 5.1.1 было показано, что

В каждой итерации участвуют значения производных, всего элементов информации. Аппроксимируем на основе Напомним, что обозначения используются как равноправные. Полученная ИФ использует элементов новой информации в точке элементов, старой информации, вычисленной в каждой из предыдущих точек. Число будет часто фигурировать в дальнейшем изложении, поэтому целесообразно ввести обозначения

Преимущества от использования вместо прояснятся в ходе дальнейшего изложения.

Пусть интерполяционный многочлен, для которого

Положим

и аппроксимируем посредством В приложении А показано, что

где расположено в интервале, заданном точками

Обозначим через итерационную функцию, полученную из заменой на Тогда очередное приближение к а запишется в виде Выведем уравнение для погрешности Очевидно, при не зависят от Обозначим через выражение, получающееся из при замене на Нетрудно видеть, что

С другой стороны,

где расположено в интервале между Поэтому

Ввиду следствия теоремы 5.1 производная входит в выражение для только как поэтому

С учетом (6.10) отсюда получаем

Положим

где расположено между Тогда

Искомое уравнение для погрешности получено. Оно будет использовано при исследовании порядка и сходимости ИФ. Покажем, что если для всех а начальные приближения расположены достаточно близко к а, то

Пусть производная непрерывна на интервале и производная не обращается в нуль на этом интервале, Заметим, что если то поэтому производная непрерывна на К? Предположим дополнительно, что для всех всех и положим Пусть тогда, очевидно, По индукции (аналогично доказывается, что если то для всех Но тогда для всех Следовательно,

Отсюда на основании леммы 3.2 получаем, что если то поэтому Заметим, что Таким образом, выполнены все условия теоремы 3.4, применение которой приводит к соотношению

где единственный положительный корень уравнения причем Полученные результаты объединяет

Теорема 6.1. Пусть производная непрерывна и производная не обращается в нуль на интервале У. Пусть, далее, на интервале где Пусть, наконец, последовательность определяется уравнением

где получена из заменой на из (6.8), (6.9), причем для всех

Тогда для всех и

где единственный положительный корень уравнения

Теперь рассмотрим случай аппроксимации производной в произвольной оптимальной одноточечной ИФ. Оказывается, что порядок и константа асимптотики погрешности ИФ, получающейся в результате этой операции, удовлетворяют тем же

соотношениям, что и в случае аппроксимации Для обоснования этого заметим, что вследствие теоремы 2.10 любая ИФ порядка представима в виде

где ограниченная в окрестности точки а функция. Пусть некоторая оптимальная одноточечная ИФ. Обозначим через полученную из заменой на а через выражение, полученное аналогичным способом из тогда Справедливы соотношения

где взяты из (6.13). Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным в предыдущем случае. Таким образом, справедлива

Теорема 6.2. Пусть производная непрерывна, производная не обращается в нуль на интервале

на интервале Пусть, далее, произвольная оптимальная одноточечная а последующие члены последовательности определяются на основе уравнения

где получена из заменой на Тогда где получено из заменой на взято из соотношения Пусть, наконец, где для всех

Тогда и

где единственный положительный корень уравнения

6.2.3. Аппроксимация ...

Рассмотрим теперь одноточечные порождаемые аппроксимацией в Эти

результаты затем обобщим на случай произвольных оптимальных ИФ.

По аналогии с п. 6.2.2 положим ; символы у и будем использовать как равноправные. Пусть многочлен, для которого

Введем обозначение

и аппроксимируем посредством В приложении А показано, что

где точка расположена в интервале, заданном

Обозначим через итерационную функцию, полученную из заменой на и положим Выведем уравнение для погрешности Нетрудно видеть, что

где точка расположена между Из (6.21), (6.22) и (6.23) получаем

Поскольку где лежит между справедливы

соотношения

Поскольку правая часть первого из этих соотношений зависит от ограничимся рассмотрением области Пусть производная непрерывна, производная не обращается в нуль на Заметим, что зависят от через параметр поэтому для доказательства того, что при любом неприменим использованный в предыдущем пункте метод. Мы вынуждены предполагать дополнительно, что для всех Пусть, кроме того,

для всех Тогда

Из леммы 3.2 следует, что если то поэтому а Заметим, что

Таким образом, выполнены все условия теоремы 3.4, применение которой приводит к соотношению

где единственный положительный корень уравнения Поскольку где расположено между и а, имеем

Полученные результаты объединяет

Теорема 6.3. Пусть производная непрерывна и производная не обращается в нуль на Я. Пусть, кроме того,

где Пусть, далее, начальные члены последовательности заданные числа, а последующие члены определяются из уравнения где получена из заменой на из (6.19), (6.20). Пусть, наконец, для всех

Тогда и

где единственный положительный корень уравнения При этом

где

Случай аппроксимации производной в произвольной оптимальной одноточечной ИФ сводится к только что рассмотренному уже известным нам приемом. Поэтому справедлива

Теорема 6.4. Пусть производная непрерывна на и производная не обращается в нуль на Пусть, кроме того, для всех произвольная оптимальная одноточечная ИФ, начальные приближения заданы, а последующие приближения определяются на основе уравнения где получена из заменой на из (6.19), (6.20). Тогда

где получено из заменой на определяется из равенства

Пусть, наконец, для всех для всех где

Тогда и

где единственный положительный корень уравнения

6.2.4. Примеры.

Пояснения к формулам, используемым в нижеследующих примерах при аппроксимации производных, приведены в приложении А. Здесь также не формулируются условия

сходимости. Смысл обозначений тот же, что и в пп. 6.2.2, 6.2.3.

Пример 6.7. (ИФ метода секущих).

Пример 6.8.

Пример 6.9.

Пример 6.10. На этот раз аппроксимируем посредством в ИФ Хэлли вместо Тогда

Пример 6.11. (ИФ метода секущих).

Пример 6.12.

Пример 6.13.