4.3. ПРИМЕРЫ

Во всех примерах этого параграфа Покажем, что и ИФ Ньютона, и ИФ метода секущих могут быть получены на основе как прямой, так и обратной интерполяции. Отметим, что если некоторая ИФ строится двумя разными методами, то достаточные условия сходимости могут различаться в зависимости от метода получения ИФ. В этом нет ничего удивительного, ибо теоремы 4.1 и 4.3 справедливы для широких семейств ИФ. Поэтому достаточные условия сходимости необязательно совпадают в тех случаях, когда применимы одновременно обе теоремы. В этом параграфе действуют те же обозначения, что и в предыдущем; в частности, те же, что и в (1.8).

Пример 4.1. Применим метод обратной интерполяции при Тогда

и мы получаем ИФ Ньютона. Справедливо соотношение

где Предположим, что производная непрерывна на интервале произведение не обращается в нуль на этом интервале, для всех где . Тогда и

Поскольку порядок является целым, то знаки абсолютной величины в (4.32) опущены.

Пример 4.2. Применим метод обратной интерполяции при Тогда

Поэтому

Предположим, что производная непрерывна на интервале произведение не обращается в нуль на этом интервале, для всех где Тогда

Для ИФ вида из-за их особой важности вводится специальное обозначение эти ИФ подробно рассматриваются в гл. 5. Свойства играют фундаментальную роль при изучении одноточечных ИФ.

Пример 4.3. Применим метод обратной интерполяции при Тогда и

где интерполяционный многочлен записан в форме Ньютона (приложение А). Следовательно,

и мы получаем ИФ метода секущих. Справедливо соотношение

Предположим, что и выполнены остальные условия примера 4.1. Тогда

Пример 4.4. Применим метод прямой интерполяции при Тогда

и мы вновь получаем ИФ Ньютона. Поскольку многочлен первой степени, определяется однозначно. Далее, в силу равенства условие теоремы 4.3, в соответствии с которым не должно обращаться в нуль, автоматически следует из условия Соотношение (4.27) в этом случае принимает вид

Предположим, что производная непрерывна на интервале произведение не обращается в нуль на этом

интервале, Из теоремы 4.2 следует, что при последовательность монотонно сходится к а слева, а при справа. Кроме того,

Заметим, что поскольку утверждения (4.32) и (4.34) не противоречат друг другу.

Если применить метод прямой интерполяции при то снова получим ИФ метода секущих. ИФ вида изучаются в § 5.3, причем особое внимание будет уделено Случай рассматривается в § 10.2.