7.2. ПОРЯДОК ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ Es

При выводе методом разложения в ряд Тейлора предполагалось, что функция имеет только простые нули. Однако это не запрещает нам интересоваться свойствами применительно к кратным нулям.

Теорема 7.1. Для кратных нулей имеет первый порядок. Более того,

Доказательство. Ввиду (5.16) и (5.17)

Следовательно, Пусть определены формулой

Тогда

Поскольку удовлетворяют дифференциально-разностному уравнению

подстановка (7.4) в (7.6) с учетом равенства дает

Положив запишем (7.7) в виде

Отсюда видно, что

где через обозначены биномиальные коэффициенты. Подстановка (7.8) в (7.5) с учетом известного тождества

приводит к соотношению

Таким образом,

Поскольку является натуральным числом, коэффициент при обращается в нуль в том и только том случае, когда Вынеся множитель за знак произведения, получим вторую часть утверждения теоремы.

Пример 7.1. Хорошо известно, что

Заметим, что правая часть (7.3) задает константу асимптотики погрешности Справедливо Следствие. Для функции

выполняются соотношения

Доказательство. Представив в виде

сразу получаем требуемый результат.

Если а последовательность приближений к корню формируется по правилу то

Поскольку эта последовательность сходится с линейной скоростью, применима -формула Эйткена, дающая следующую оценку для а:

Подставив а вместо а в уравнение получим соответствующую оценку для Напомним, что принимает только целые значения. После нахождения появляется возможность применять ИФ второго порядка