7.6. ОДНОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ С ПАМЯТЬЮ

В этом параграфе приводится ряд методов построения одноточечных ИФ с памятью для случая кратных нулей. Поскольку эти методы представляют собой модификации уже рассмотренных ранее методов, мы опустим при их изложении некоторые подробности.

При рассмотренные в § 7.5 ИФ являются одноточечными с памятью. Мы показали, что при их порядок лежит в пределах

Поскольку имеет только простые нули, то после замены на и, а производных на соответствующие производные и, к полученным ИФ применимы все утверждения, доказанные для случая простых нулей. В качестве примера рассмотрим ИФ, порождаемые прямой интерполяцией, изучавшиеся в п. 4.2.3. Теорема 4.3 утверждает, что

Обозначим через полученную из заменой на тогда

Используя коэффициенты разложения

(см. § 7.4), представим последнее соотношение в виде

В частности, порядок ИФ

равен для всех Нетрудно показать, что первые два члена ряда для погрешности имеют вид

Объем информационного запроса равен двум, а эффективность использования информации равна 0.81 для всех Недостаток этой ИФ состоит в том, что по мере сходимости итерационной последовательности к а числитель и знаменатель в выражении для и стремятся к нулю; это вынуждает к проведению вычислений с повышенной точностью.

Если кратность известна, то применйм ряд других методов. Поскольку производная имеет в этом случае только простые нули, после замены на применимы все результаты, относящиеся к простым нулям. Преимущество получаемых этим способом ИФ состоит в том, что в них отсутствуют члены, числители и знаменатели которых одновременно стремятся к нулю, недостаток — в использовании производных более высокого порядка.

Еще один метод состоит в замене на с последующей аппроксимацией производной. Например, определим аналогично (см. п. 6.2.2); нетрудно видеть, что порядок ИФ

меняется в зависимости от в пределах от до 2.

В качестве последнего примера рассмотрим аппроксимацию производной в ИФ второго порядка Положим

Можно показать, что порядок этой ИФ в зависимости от меняется в пределах от единицы до Для кратных нулей она имеет первый порядок. Существенное отличие ИФ (7.53) от (7.52) состоит в том, что знаменатель правой части (7.53) представляет собой линейную комбинацию в то время как знаменатель правой части (7.52) есть линейная комбинация