ГЛАВА 6. ОДНОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ С ПАМЯТЬЮ

В этой главе рассматриваются два класса одноточечных ИФ с памятью: интерполяционные ИФ и ИФ, порождаемые аппроксимацией производной. Эти ИФ всегда имеют нецелый порядок. Для основных результатов, содержащихся в теоремах 6.1-6.4, характерны простота и лаконичность.

6.1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

В гл. 4 была развита теория ИФ, порождаемых прямой или обратной интерполяцией. Эти ИФ были названы интерполяционными. При интерполяционные ИФ относятся к классу одноточечных, а при к классу одноточечных с памятью. Вопросам сходимости и порядка интерполяционных ИФ посвящены теоремы 4.1, 4.2 и 4.3. Обобщение на случай кратных нулей проводится в гл. 7. В этом параграфе мы ограничимся комментариями и примерами; обозначения имеют тот же смысл, что и в гл. 4.

6.1.1. Комментарии.

Заметам, что интерполяционные одноточечные ИФ с памятью используют элементов новой информации в точке элементов ранее вычисленной информации в каждой из точек Таким образом, объем информационного запроса этих ИФ равен Порядок определяется величиной единственного положительного корня уравнения

В § 3.3 было показано, что

причем Из (6.2) следует, что эффективность использования информации рассматриваемыми ИФ удовлетворяет неравенствам Согласно теореме 5.3, эффективность использования информации любой одноточечной ИФ «без памяти» не может превышать 1. Таким образом, наблюдаемый рост эффективности в случае интерполяционных ИФ с памятью связан исключительно с повторным

использованием старой информации. С другой стороны, неравенство (6.2) показывает, что использование старой информации увеличивает эффективность менее чем на единицу.

Зависимость порядка ИФ от можно проследить по табл. 3.1, положив Отметим, что с ростом порядок весьма быстро приближается к верхней границе особенно для больших Наибольший практический интерес представляет случай при этом корень уравнения (6.1) выписывается явно:

Один из недостатков интерполяционных ИФ с памятью состоит в том, что по меньшей мере часть вычислений приходится проводить с многократной точностью. К недостаткам же ИФ, порождаемых прямой интерполяцией, следует отнести необходимость решения на каждой итерации алгебраического уравнения степени. Рассмотренный в применительно к одноточечным ИФ способ понижения степени пригоден и для одноточечных ИФ с памятью; соответствующий пример приведен в

6.1.2. Примеры.

Интерполяционные формулы, используемые в приводимых ниже примерах, подробно рассмотрены в приложении А. Мы не будем формулировать здесь условия сходимости; эти условия даны в примерах из § 4.3. Три первых примера основаны на обратной интерполяции, а три последних — на прямой интерполяции; для удобства используются обозначения

Пример 6.1. (ИФ метода секущих). При использовании интерполяционной формулы Ньютона имеем

а при использовании интерполяционной формулы Лагранжа — Эрмита —

Пример 6.2.

Пример 6.3. .

Пример 6.4. (ИФ метода секущих). При использовании интерполяционной формулы Ньютона имеем

а при использовании интерполяционной формулы Лагранжа —

Отметим, что при порождаемые прямой и обратной интерполяцией, совпадают. Рассмотренный пример — это единственный случай при когда такое совпадение имеет место.

Справедливы соотношения

Пример 6.5. В этом случае получаем уравнение второй степени относительно

Справедливы соотношения

Эта ИФ обсуждается в

Пример 6.6. В этом случае получаем уравнение третьей степени относительно

Справедливы соотношения