ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Основные понятия, изучаемые в книге, и используемые для них обозначения вводятся в § 1.2.

1.1. ВВЕДЕНИЕ

Предметную область нашего исследования можно назвать единым термином алгоритмика, под которым мы будем понимать изучение алгоритмов вообще и исследование вопросов сходимости и эффективности вычислительных алгоритмов в частности.

Если говорить конкретнее, мы будем изучать алгоритмы решения уравнений. Будет исследоваться связь между количеством и качеством информации, используемой алгоритмом, с одной стороны, и его эффективностью — с другой; влияние повторного использования ранее вычисленной информации и вычисления новой информации в подходящих точках.

Наше исследование итерационных алгоритмов решения уравнений будет в достаточной мере систематизировано. В ходе исследования мы изучим новые семейства эффективных в вычислительном отношении итерационных алгоритмов, выделив как частные случаи некоторые широко известные итерационные алгоритмы. Мы надеемся, что этот всеохватывающий подход позволит исключить или по крайней мере сократит открытие заново уже известных алгоритмов. Наш подход приводит к естественным классификационным схемам и позволяет единообразно оценивать погрешность, получать критерии сходимости для семейств итерационных алгоритмов. Окончательный вывод о полезности новых методов можно будет сделать только после их проверки на ряде практических задач. В настоящее время, однако, теоретическую оценку погрешности метода принято подкреплять представительными численными экспериментами на тестовых задачах.

Хотя мы ограничиваемся проблематикой решения вещественных уравнений и систем уравнений, область приложения данной работы значительно шире. В частности, развитая нами техника применима в таких областях, как решение дифференциальных и интегральных уравнений, вычисление собственных значений. Представляет интерес обобщение полученных результатов на случай абстрактных пространств. Этот вопрос более подробно рассматривается в приложении