11.4. ВЕКТОРНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ, НЕ ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЙ ПРОИЗВОДНЫХ

Существует много способов построения векторных ИФ, не использующих значений производных. В этом параграфе мы ограничимся обобщением на многомерный случай двух скалярных ИФ из § 8.6.

Начнем с ИФ (8.82). Перепишем рекуррентную формулу (8.82), используя для обозначения номера итерации верхний индекс:

«Конструкция» соотношений (11.51) подсказывает естественный способ их обобщения на многомерный случай. В одномерном случае аппроксимирует в многомерном случае аппроксимирует матрицу, обратную к матрице Якоби. Введем дополнительные переменные

и положим

Нетрудно видеть, что элементы матрицы, аппроксимирующей матрицу Якоби. Элементы обратной матрицы обозначим

через тогда обобщение на многомерный случай процедуры (8.82) задается соотношениями

Расчеты по формулам (11.53) — (11.56) проводятся в такой последовательности. Сначала, используя из (11.55) и по формуле (11.56) вычисляем причем элементы вычислены на предыдущей итерации. Затем, используя по формуле (11.53) вычисляем элементы Обращая эту матрицу, получаем и определяем по формуле (11.54) очередное приближение к корню.

Проведем обобщение на многомерный случай самоускоряющейся ИФ метода секущих (8.85). Перепишем (8.85), используя верхний индекс для обозначения номера итерации:

Способ обобщения на многомерный случай ИФ (11.57) очевиден. Положим

а через обозначим элементы матрицы, обратной к матрице с элементами Формулы для векторной ИФ принимают вид

Расчеты по формулам (11.58) -(11.60) проводятся в такой последовательности. Сначала, используя и по формуле (11.60) вычисляем причем элементы вычислены на предыдущей итерации. Затем по формуле (11.58) находим элементы После обращения этой матрицы определяем по формуле (11.59) очередное приближение к корню.

Заметим, что если положить то формулы (11.58) — (11.60) задают обобщение на многомерный случай обычной ИФ метода секущих.