ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию читателя книга Пинни содержит обширный материал по теории линейных дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Общая теория иллюстрируется подробным разборам простейших, но в то же время наиболее важных для приложений примеров.

Излагаются методы, позволяющие приближенно находить решения стационарных линейных уравнений, исследовать их асимптотику, находить области устойчивости решений и выбирать параметры так, чтобы обеспечить наибольшую степень устойчивости.

В последних главах излагается оригинальный метод нахождения периодических решений квазилинейных систем с отклоняющимся аргументом; этот метод тоже иллюстрируется подробно разобранными примерами.

Книга Пинни безусловно заинтересует не только специалистов-математиков, но также механиков, физиков и инженеров, работающих в области автоматического регулирования; некоторые главы представляют интерес и для экономистов.

При переводе были устранены многочисленные неточности оригинала. Все исправления, кроме очевидных опечаток, сопровождаются подстрочными замечаниями. Следует, однако, иметь в виду, что некоторые утверждения автора не могли быть проверены из-за отсутствия в книге полных доказательств.

Для удобства читателя библиография дополнена работами двух последних лет и некоторыми ранее вышедшими в свет статьями.

10/VI-60 г. Л. Э. Эльсгольц

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дифференциально-разностным уравнением называется уравнение, содержащее функцию некоторые из ее производных по и разностей по Слово «обыкновенное» означает, что единственное переменное и что производные берутся обыкновенные. Примером дифференциально-разностного уравнения является уравнение

Уравнение называется смешанным дифференциально-разностным, если является одним из так что по производятся и сдвиги, и дифференцирование. Примером уравнения этого вида является уравнение

Изучение дифференциально-разностных уравнений было начато И. Бернулли [1] в 1728 г. С тех пор было написано несколько сот работ, в которых развивалась теория этих уравнений. Математики XVIII столетия встретились с дифференциально-разностными уравнениями, когда пытались распространить свои познания о механике конечных систем на механику сплошных сред, для изучения которой в дальнейшем стали применяться уравнения с частными производными.

Сегодня мы приходим к тому же с другой стороны, так как изучение дифференциальных уравнений с частными производными приводит нас к изучению разностных и дифференциально-разностных

уравнений. Во-первых, современные цифровые вычислительные машины оперируют разностями, а не производными. Во-вторых, многие сложные физические задачи, описываемые уравнениями с частными производными, можно аппроксимировать более простыми задачами, описываемыми дифференциально-разностными уравнениями. Например, клапан в двигателе Дизеля поднимается под действием давления газа, сжимаемого поршнем. Легче описать движение клапана, ввгдя запаздывание по времени в уравнение движения клапана, чем пытаться решить полностью задачу о движении клапана и течении газа в цилиндре.

Эта книга написана в первую очередь для тех, кто встречается с дифференциально-разностными уравнениями в практических задачах; мы надеемся, что она окажется полезной этим читателям. Мы надеемся также, что многие увидят возможности, заключающиеся в аппроксимации некоторых задач, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными гиперболического типа, более простыми задачами, описываемыми дифференциально-разностными уравнениями.

Названию "дифференциально-разностное уравнение“ было отдано предпочтение перед другими иногда встречающимися названиями вследствие аналогии с названием "интегро-дифференциальное уравнение", а также потому, что оно предпочитается большинством наиболее авторитетных ученых в этой области.

Рассуждения в этой книге по большей части слишком детальны, чтобы их можно было удовлетворительно провести в матричной форме.

Первый параграф в каждой главе является введением, в котором разъясняются содержание и цель главы.

В главе I излагаются и иллюстрируются некоторые методы решения дифференциально-разностных уравнений, дающие ответ в нескольких различных видах. Дифференциально-разностное уравнение имее единственное решение в некоторой области, если начальные условия заданы на соответствующем начальном интервале. Наиболее важной формой решения является ряд по собственным функциям, или по "простым решениям".

В главе II для систем дифференциально-разностных уравнений решение получается в общем виде в форме бесконечного ряда, причем для одного уравнения это сделано более подробно.

При решении задач, в особенности когда требуются численные результаты, одним из важнейших практических вопросов является решение характеристического уравнения. Этот вопрос детально изучается в главе III.

Главы IV и V посвящены подробной разработке теории смешанных линейных дифференциально-разностных уравнений первого и второго порядка с постоянными коэффициентами и одним запаздыванием.

В главах VI, VII и VIII приведено исследование отдельных уравнений, частью для справок, частью для иллюстрации.

Если нужно решить дифференциально-разностное уравнение, то следует попробовать применить методы главы I. Если это смешанное дифференциально-разностное уравнение, то может быть использована теория главы II; оно может также принадлежать к одному из типов уравнений, рассмотренных в главах IV—VIII, или сводиться к такому уравнению простым преобразованием.

Глава IX представляет, вероятно, первую практически применимую теорию нелинейных дифференциально-разностных уравнений. Она применяется в главе X к различным простым примерам, а в главе XI — к важному для приложений уравнению, впервые изученному Минорским.