§ 3. Асимптотические корни характеристического уравнения (3.1)

В этом параграфе мы распространим теорию § 2 на более общее характеристическое уравнение (3.1). Условия, которым должны удовлетворять величины, входящие в (3.1) и (3.2), перечислены в том

абзаце в § 1, который содержит эти уравнения. По (3.2) и лемме 2 из приложения В, для больших z

где — положительное целое число.

Характеристическая функция определяется через эти величины по формуле

Выражения по структуре сходны с характеристической, функцией из § 2. Для них можно построить D-множество и D-диаграмму. По выпуклой оболочке D-множества находятся члены (3.17), доминирующие при -сегменты строятся указанным на фиг. 3 образом и образуют вместе выпуклую оболочку D-множества. Угол снова определяется через z с помощью соотношения в (3.9), а углы определяются указанным на фиг. 3 образом. Угловые точки выпуклой оболочки определяются, как в § 2. Снова правый конец сегмента будет называться угловой точкой"; точка будет добавлена как конечная угловая точка и будет иметь номер, следующий за номером угловой точки на правом конце -сегмента, на котором лежит Обозначим 5-ю угловую точку Пусть обозначает коэффициент при члене, соответствующем в (3.17). Будем называть угловым коэффициентом". Мы говорим, что угловые, коэффициенты "невырождены", если составленный из них определитель не равен нулю,

Предположим теперь, что не "близко" ни к одному из углов т. е. что соотношение не имеет

места ни для одного при Тогда главным будет единственный член в (3.17), соответствующий, скажем, угловой точке, и мы будем иметь

при Согласно (3.18),

Из условия 1 § 3 гл. II и (3.19) следует, что Поэтому если не "близко" ни к одному из углов в указанном выше смысле, то асимптотических корней не существует. Кроме того, по (3.8),

причем берется абсолютное значение определителя.

Предположим теперь, что "близко" к т. е. при Тогда все члены в (3.17), соответствующие точкам D-множества, лежащим на сегменте будут доминирующими при При этом так же, как в (3.10),

где при а суммирование производится по членам, соответствующим точкам на Так же, как в (3.11), когда можно записать

где точка пересечения отрезка (продолженного в случае необходимости) с осью Поэтому, по (3.18),

Пусть теперь какой-нибудь ненулевой корень уравнения

Это уравнение, как и (3.12), является алгебраическим уравнением и может быть решено какими-нибудь известными методами. Оно невырождено, т. е. не обращается тождественно в нуль для всех Чтобы убедиться в этом, разделим каждый член на если или на если (принимая во

внимание, что есть ордината угловой точки). Тогда

а при

Из (3.19) ясно, что существует окрестность точки в которой уравнение (3.23) не имеет корней, за исключением, возможно,

Согласно (3.22) и (3.23), асимптотические корни удовлетворяют уравнению

Поэтому для асимптотические корни равны

где — большое положительное целое число, при Это выражение имеет ту же форму, что и (3.13); разница лишь в том, что является теперь корнем, уравнения (3.23), а не уравнения (3.12).

Случай требует специального рассмотрения. В этом случае все величины в (3.21) равны и могут быть вынесены за знак суммы. Так как в этом случае, согласно (3.18) и (3.21), имеем

Поэтому, когда асимптотические корни выражаются формулой

где большое положительное целое число, при есть корень уравнения

Погрешность в некоторых случаях может быть определена более точно, так же как подобная погрешность,

о которой говорится в абзаце, следующем за уравнением (3.15). Пусть ни одна из точек сегмента на D-диаграмме не соответствует членам в (3.17), содержащим функции или пусть целое число определенное в третьем абзаце в § 1, не меньше 2. Тогда

где расстояние, измеренное по вертикали (параллельно оси от сегмента (продолженного в случае необходимости) до ближайшей точки D-множества, которая не лежит на

Иллюстрация к изложенной теории дается в § 5.

Теперь мы хотим дать оценку величины когда z отстоит от асимптотических корней на расстоянии порядка единицы. Введем новый символ порядка О, определенный следующим образом: будем говорить, что при если существуют две положительные константы такие, что

Если не близко ни к одному из углов то, согласно (3.20),

С другой стороны, пусть отстоит от асимптотических корней на расстоянии порядка единицы. [Заметим, что по (3.24) и (3.26) эти корни удалены друг от друга на расстоянии порядка единицы.] Сначала пусть Тогда определитель в (3.22) есть так как

С другой стороны, по (3.9),

так что, по (3.22),

Наконец, пусть Тогда, по (3.9),

Поэтому, в силу (3.25), уравнение (3.29) удовлетворяется также и в этом случае.

Следующие теоремы аналогичны некоторым из утверждений, сформулированных в конце § 2.

Теорема 3.1. Если то для любого наперед заданного числа существует не более конечного числа корней характеристического уравнения, действительные части которых превосходят это число.

Доказательство. Если точка ( лежит выше, чем другие точки D-множества. Поэтому все -сегменты имеют положительные углы наклона, так что, как видно из фиг. 3, все углы лежат между для

Отсюда, по (3.24), все цепи корней уходят неограниченно влево при и только конечное число корней может лежать справа от любой прямой, параллельной мнимой оси, на плоскости

Теорема 3.2. Для любой точки отстоящей от асимптотических корней на расстоянии порядка единицы, при

Доказательство. это определитель порядка элементами которого являются функции Поэтому процесс определения величины таков же, как процесс определения величины за исключением того, что теперь у нас нет условия, эквивалентного (3.19). Отсутствие этого условия означает, что оценки типа (3.29) и (3.30) могут быть произведены только с заменой символа О на О. Как и в (3.29), получаем

когда но не "близко" ни к одному концу этого интервала. С другой стороны, когда как в (3.30),

Отсюда и из (3.29) и (3.30) мы получаем

в первом случае и

во втором случае. Далее, представляют собой ординаты точек пересечения с осью прямых, которые касаются выпуклой оболочки D-множества, но не пересекают ее, как показано на фиг. 3. Так как точка ( лежит на выпуклой оболочке D-множества, то

Отсюда (3.31) следует непосредственно.