§ 6. Геометрическая задача
Пуассон ([1], стр. 142) рассмотрел следующую задачу: требуется найти кривую, у которой квадрат нормали в любой ее точке минус квадрат ординаты, измеренной вверх от основания нормали, есть постоянная величина, равная 1.
На плоскости 
(фиг. 33)
Фиг. 33.
Пусть 
уравнение искомой кривой, и пусть Р обозначает точку 
на этой кривой. Тогда 
это точка 
точка 
Согласно (8.42),
Теперь положим
Тогда из (8.43)
Эти уравнения имеют вид (8.26), (8.27). Согласно (8.28), имеем
Подставляя (8.47) в (8.48) и заменяя 
на 
получаем
Продифференцируем это выражение:
Используя (8.47) для исключения функции 
найдем
Это уравнение имеет общее решение
где 
периодические функции с периодом 1.
Из (8.49) и (8.50) следует, что
Это уравнение имеет решение
где 
периодическая функция с периодом 1.
Следовательно, по (8.28), искомая кривая будет иметь уравнения
где, согласно (8.47), (8.50) и (8.51),
и где 
и 
произвольные дифференцируемые периодические функции с периодом 1.
