§ 9. (x, k)-плато в пространстве параметров

В некоторых случаях, например в определенных задачах проектирования, параметры уравнения не известны заранее, а подбираются таким образом, чтобы решение получило некоторые желаемые свойства. Иногда, например, существенно, чтобы решение стремилось к нулю при стремящемся к бесконечности; для этого достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были псевдоотрицательными). В некоторых случаях существенно, чтобы решение не только стремилось к нулю при но и чтобы оно стремилось к нулю с максимальной скоростью. Это значит, что параметры уравнения должны быть выбраны таким образом, чтобы наибольшая из действительных частей всех корней характеристического уравнения была минимальной. В некоторых других задачах это требование может быть наложено на все корни, за исключением конечного числа, причем исключенные корни должны удовлетворять совершенно другим условиям.

В таких случаях полезно понятие -плато. Щ-плато — это множество значений параметров, для которых характеристическое уравнение имеет и только корней, действительные части которых превосходят -плато является областью в пространстве параметров, т. е. пространстве, в котором параметры рассматриваются как координаты.

-плато носит название плато устойчивости. Граница между -плато и смежным -плато называется -границей плато.

Границам -плато соответствует переход корней характеристического уравнения через прямую, параллельную оси у, с абсциссой, равной х. Поэтому границы плато удовлетворяют уравнению

где х рассматривается как постоянная. Уравнениям из которых (теоретически) может быть исключено у, соответствует поверхность (или гиперповерхность) в пространстве параметров.

После того как границы плато определены из уравнения (3.69), число для каждого плато может быть определено с помощью применения теории § 8 к какой-нибудь точке на каждом плато.

Во многих случаях процесс определения расположения -границы плато приводит автоматически к определению корней характеристического уравнения, лежащих на вертикальной прямой, абсцисса которой равна х, на плоскости Пусть теперь некоторая точка в пространстве параметров лежала на -границе плато при значении координаты а и эта координата получила приращение

Каждый корень характеристического уравнения, который лежал прежде на прямой изменит свою абсциссу на величину

где правая часть вычисляется для каждого корня и для Пусть теперь таково, что точка переходит с -плато на -плато. Считая каждый корень столько раз, какова его кратность, мы можем определить из (3.70) число корней характеристического уравнения, которые пересекают прямую слева направо, и число корней характеристического уравнения, которые пересекают прямую справа налево. Ясно, что

Если подсчитано по теории § 8, то также известно. Этот процесс обычно легко проводится и в большинстве случаев дает возможность быстрее определить значения для всех плато в пространстве параметров после того, как только одно из них определено с помощью применения теории § 8.

В качестве примера определим -плато для уравнения (3.67):

Здесь пространство параметров одномерно, так как имеется единственная координата у. Согласно (3.69), для

Плато будут интервалами на оси у. По (3.72), границами плато будут для любого целого Границе плато соответствует один корень для которого Границам плато соответствуют по два корня которых Согласно (3.70), имеют одинаковый знак на всех границах плато, для которых и имеют разные знаки на всех границах плато, для которых Во втором примере § 8 было показано, что интервал является -плато, или плато устойчивости.

Рассмотрим границу этого -плато. Существуют два корня характеристического уравнения на прямой Если у возрастает от до то положительно, так что существуют два псевдоположительных корня, когда Этот интервал является поэтому -плато. Таким же образом, когда у, возрастая, проходит значение оно переходит с -плато на -плато. Подобным же образом

исследование проводится для отрицательных Интервал является -плато, интервал

Подводя итог, можем сказать, что интервал является -плато, или плато устойчивости. Для положительных целых чисел интервалы являются -плато, интервалы являются -плато.

Такая картина типична. В общем случае характеристическое уравнение может иметь несколько действительных корней, остальные же корни будут попарно комплексно сопряженными. Соответственно при переходе через большинство границ плато будет изменяться на 2, а при переходе через некоторые (такие, как в предыдущем примере) границы может изменяться на 1. В некоторых случаях переход через границу может изменить на 4 или на 0 и т. д.