§ 6. Решение в виде ряда в случае, когда имеется тройной корень характеристического уравнения. Случай максимального затухания
Если
т. е. если 
есть точка возврата на кривой (4.8), изображенной на фиг. 7, то 
будет тройным корнем характеристического уравнения. В этом частном случае корни характеристического уравнения упрощаются и все имеют действительные части, равные 
В самом деле,
где 
- последовательные ненулевые корни уравнения
Чтобы доказать это, запишем (4.3) в виде
Полагая 
и отделяя действительную и мнимую части, получаем
Теперь из 
следует 
так как если положить 
в (4.18), то правая часть становится равной 
что можег равняться и толькр при и — 0.
Предположим теперь, что 
Тогда 
Разделив 
на (4.19) и поменяв местами и и 
получим
Это невозможно, так как 
в то время как 
Поэтому 
Теперь (4.16) и (4.17) следуют из (4.19).
По Янке и Эмде [11 (стр. 47),
Согласно (4.11), асимптотической формулой для 
будет
Это дает 
что сравнимо со значением, приведенным в (4.20). Более точным выражением, чем (4.20), будет, по Янке и
Эмде 111 (стр. 47),
Тогда
Этот случай представляет особый интерес, так как тройной корень характеристического уравнения имеет максимальную возможную кратность и поэтому, согласно § 10 гл. III, когда а и 
даются формулой (4.15), решение [т. е. (4.22)] уравнения (4.1) имеет наибольшее возможное затухание.
