Глава VI. НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Введение

В этой главе мы рассмотрим некоторые дифференциально-разностные уравнения, появлявшиеся в литературе. Нашей целью всюду является, если не оговорено специально что-либо иное, получение разложений в ряды решений этих уравнений с использованием начальных условий, прежде всего для справок. Таким образом, эту главу читатель, вообще говоря, может пропустить.

С помощью простых преобразований (например, замены на у на и т. п., где постоянные, независимое и зависимое переменные соответственно) данные уравнения могут быть преобразованы, если это представляет интерес, в другие уравнения.

Для краткости мы проводим математические выводы в общих чертах и избегаем детальных исследований характеристических уравнений. Приводимые разложения не будут исчерпывающими, так как мы ограничимся случаями, когда все корни характеристического уравнения простые. В других случаях разложения могут быть получены с помощью небольших изменений.

Там, где возможно, мы будем придерживаться следующего порядка. Уравнение будет указано в заголовке. Будут заданы начальные условия и ограничения на рассматриваемые функции. Затем будет записано характеристическое уравнение и приведены его асимптотические корни. Далее могут быть даны указания относительно вычисления корней характеристического уравнения. Наконец, будет выписано решение в виде ряда.

Этот порядок будет по необходимости несколько изменен в § 6, где уравнение имеет переменный коэффициент, и в § 7, где один коэффициент уравнения является только кусочно-постоянным.