Глава V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И С ОДНИМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

§ 1. Введение

Дифференциально-разностное уравнение второго порядка

в приложениях, вероятно, является наиболее важным из всех дифференциально-разностных уравнений. Частные случаи этого уравнения и уравнения, получаемые из него простыми преобразованиями (например, заменой на на и т. п., где постоянные), изучали Ансофф [1], Ансофф и Крумхансл [1], Бильхарц [1], Коллатц [1], Минорский [1]-[5], Рейнхардт [1], [2], Рокар [1] и Шерман [1].

Коэффициенты с и постоянны. От функции будем требовать, чтобы она была интегрируема и имела ограниченную вариацию по на любом конечном интервале в области

Наши начальные условия, которым должна удовлетворять функция состоят в том, что задана, интегрируема и имеет ограниченную вариацию на и что заданы для некоторого фиксированного такого, что

Уравнение (5.1) имеет вид (2.4) с

Условия теоремы 2.3 удовлетворяются. Поэтому уравнение (5.1) имеет единственное решение такое, что у" интегрируема и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области непрерывны для

При

При функции могут быть представлены бесконечными рядами типа (2.11). Эти ряды содержат корни характеристического уравнения

Структура рядов зависит от наличия или отсутствия кратных корней уравнения (5.3). Поэтому корни уравнения (5.3) будут исследованы в §§ 2—5. В § 6 приводятся решения в виде ряда для всех случаев, за исключением случая максимального затухания, который рассматривается в § 7.