Глава IX. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Введение

В математической теории экономики предложены описания различных экономических процессов с помощью дифференциальноразностных уравнений; при этом разности возникают из-за запаздывания в производственных процессах и т. п. До сих пор в математической экономике ограничивались использованием только линейных уравнений, так как практические приемы для изучения нелинейных уравнений не были достаточно просты. Такое упрощенное описание экономических процессов неудовлетворительно, потому что линейные системы непригодны для изучения циклов или колебаний, наличие которых является одной из наиболее характерных черт экономики. И действительно, когда встречаются запаздывания и самовозбуждающиеся колебания, обычно возникают нелинейные дифференциально-разностные уравнения.

Целью этой главы является изложение метода получения приближенных решений нелинейных дифференциально-разностных уравнений с малыми нелинейными членами. Мы будем рассматривать уравнения типа

в которых

i) — величины, не зависящие от такие, что

ii) Y (t) - матрица:

iii) - полином степени от элементов матрицы некоторые из членов степени имеют коэффициенты порядка при а остальные имеют коэффициенты порядка при ;

iv) зависит от явным образом только как полином от тригонометрических функций;

v) функция задана, интегрируема и имеет ограниченную вариацию при — заданы также значения для

Литература по уравнениям типа (9.1) очень бедна. Используя метод последовательных приближений Пикара, легко доказать теоремы существования и единственности при надлежащих условиях Липшица. Другой класс теорем (Райт [1], [6], [7]) касается условий, при которых решение (9.1) стремится к нулю при То, насколько сложными являются доказательства этих теорем, зависит от ограничений, налагаемых на При удовлетворяющих условиям эти теоремы совсем просты, и без существенных усложнений они могут быть значительно обобщены (Беллман [1]).

Нахождение колеблющихся решений (9.1), которые не стремятся к нулю при представляет бблыпие трудности и больший интерес. Динорский [3], [4], [5] провел формальные вычисления, используя видоизмененный метод Крылова — Боголюбова. Браунелл [1] развил более строгую теорию периодических решений.

В этой главе мы не будем рассматривать теорию уравнения (9.1) ради нее самой, а разовьем ее только с целью дальнейших приложений. Это означает, что главной задачей будет нахождение явных выражений для приближенных решений (9.1) и что можно пожертвовать некоторой общностью ради других преимуществ. Так, например, в условиях iii на допустимые функции наложено больше ограничений, чем это делает Браунелл, но получающаяся теория много проще и дает больше информации при этих ограничениях, так как мы будем рассматривать не только периодические решения. Мы сможем, например, изучить некоторые задачи, связанные с колебаниями несоизмеримых периодов.

В нашей теории решение (9.1) будет строиться посредством ряда последовательных приближений, основанных на решении линейного уравнения, получающегося из (9.1) при рамках этой теории нельзя решить вопрос о неограниченности решений, так как при возрастающем у нелинейные члены должны в конце концов стать доминирующими, что нарушает сходимость аппроксимирующего процесса. Поэтому нужно особо отметить, что предположение означает только то, что метод неприменим. На самом деле теория может оказаться несправедливой и просто для больших конечных значений у [когда условия (9.14) и (9.62) перестают удовлетворяться]. Этот случай будет называться случаем неприменимости теории из-за больших

решений. Дальнейшие существенные ограничения на область применимости теории даются в теореме 9.1.

Используя метод Пикара, можно показать, что уравнение (9.1) имеет единственное решение, у которого производная интегрируема и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области Для функции непрерывны. Следовательно, функция непрерывна по при