§ 2. Системы интегро-дифференциальных уравнений

Наиболее общей системой интегро-дифференциальных уравнений, которая будет рассмотрена, является

где . Мы также уделим особое внимание частному случаю этой системы — системе интегро-дифференциальных уравнений

Результаты, которые мы получим для уравнений (2), будут представлять интерес только при изучении дифференциально-разностных уравнений с одной независимой переменной, тогда как результаты, которые мы получим для уравнений (1), могут быть использованы при изучении более общих дифференциально-разностных уравнений.

Величины, входящие в эти уравнения, будут определены более точно в следующем параграфе. Однако некоторые свойства, которые будут все время предполагаться выполненными, мы укажем здесь. неотрицательные целые числа, целое положительное, число. При первая сумма слева отсутствует, и все величины, имеющие в качестве индекса, отбрасываются. Индексы всегда будут изменяться от 1 до Индексы будут изменяться от 0 до и от 0 до соответственно, если не оговорено противное.

Здесь за исключением особо указанных случаев, — действительная переменная, изменяющаяся на отрезке точка -мерного эвклидова пространства точка в Н, изменяющаяся на отрезке где

- аддитивная функция интервала, имеющая ограниченную вариацию и определенная на Функции удовлетворяют тем из условий § 4, которые будут указаны в каждой конкретной теореме.

х - действительная переменная величина, если не оговорено специально, что она является комплексной переменной, и -действительная переменная, изменяющаяся на интервале где

-аддитивная функция интервала, имеющая ограниченную вариацию и определенная на Функции удовлетворяют тем из условий § 4, которые будут указаны в каждой конкретной теореме.

Верхние индексы в скобках, относящиеся к функциям нескольких переменных, обозначают производные по первому из аргументов. Так, например, обозначает и т. д.

Иногда более удобно записывать уравнение (1) в виде

где

а уравнение (2) — в виде

где