§ 4. Общие теоремы о разложении решений

В этом параграфе формулируются некоторые теоремы о разложении решений. Их доказательства даны в § 5. Встречающиеся при этом корни характеристических уравнений изучаются в гл. III.

Теорема 2.1. Пусть Пусть выполнены условия А из § 2 и I из § 3. Тогда система уравнений (2.1) имеет единственное решение такое, что функции

интегрируемы и имеют ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области Для функции непрерывны при При они удовлетворяют (2.6), а при представимы в виде

причем суммирование производится по всем корням характеристического уравнения

где

кратность корня характеристического уравнения,

и где есть алгебраическое дополнение элемента в определителе

Ряд (2.7) сходится абсолютно и равномерно на любом конечном интервале в области

Теорема 2.2. Пусть произвольны, пусть также выполнены условия В из § 2 и II из § 3 и

функции связаны соотношениями (2.1) для лежащих на интервале Тогда система уравнений (2.1) имеет единственное решение аналитическое по при Далее, при ряд (2.7) сходится абсолютно и равномерно на каждом конечном интервале в области .

Результаты для системы уравнений (2.3) получаются просто подстановкой в формулировки теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.3. Пусть и пусть выполнены условия С из § 2 и III из § 3. Тогда уравнение (2.4) имеет единственное решение такое, что интегрируема и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области Для производные непрерывны при . При — они удовлетворяют (2.6) (если опустить индекс при в то время как при они разлагаются в ряд

причем суммирование производится по всем корням характеристического уравнения

Здесь кратность корня

Ряд (2.11) сходится абсолютно и равномерно на любом конечном интервале в области .

Теорема 2.4. Пусть произвольны, и пусть выполнены условия D из § 2 и IV из § 3 и функции связаны соотношениями (2.4) для лежащих на интервале

Тогда уравнение (2.4) имеет единственное решение которое аполитично при Далее, при ряд (2.11) сходится абсолютно и равномерно на Любом конечном интервале в области О.

Результаты для уравнения (2,5) получаются просто подстановкой в формулировки теорем 2.3 и 2.4.

Из этих теорем очевидно, что корни характеристических уравнений играют существенную роль в разложениях и что изучение характеристического уравнения и его корней является одной из наших главных задач. Они будут детально рассмотрены в гл. III.