Глава III. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Введение

В разложениях в ряды в гл. II важную роль играют характеристические уравнения, такие, как (2.8), (2.12) и их различные частные случаи. В этой главе мы изложим теорию корней характеристических уравнений как для теоретических целей, таких, как теоремы гл. II, так и для использования при численном определений корней, когда это требуется для практических применений.

Одной из важных задач будет получение асимптотических выражений для "асимптотических корней", т. е. корней, далеко отстоящих от начала координат на плоскости Мы упомянем также методы, которые могут быть использованы для численного определения неасимптотических корней. В дополнение мы укажем, как иногда можно подобрать параметры дифференциально-разностных уравнений, чтобы, когда это возможно, получить у показателей главных членов решения наименьшие действительные части и, следовательно, обеспечить максимальное затухание решений. Это часто является важной задачей в проблемах проектирования.

Для изучения характеристических уравнений (2.8) и (2.12) из гл. II мы повторим некоторые определения этой главы. Наиболее общее характеристическое уравнение, которое мы будем изучать, имеет вид

Здесь определитель матрицы порядка Ее элементы задаются формулой

где — константы; Угловые коэффициенты невырождены [см. (3.19) ниже]. Величины удовлетворяют неравенствам

Функции могут тождественно обращаться в нуль на части отрезка . Пусть обращается в нуль на на где Пусть первой не обращающейся в нуль в точке производной, а порядок первой не обращающейся в нуль в точке производной. Требуется, чтобы функция была дифференцируема до порядка для некоторого целого положительного всюду на отрезке Теория уравнения (3.1), развиваемая в этих предположениях, может быть использована для теории уравнений (2.1) и (2.3) в теоремах 2.1, 2.2 и 2.5.

При характеристическое уравнение (3.1) превращается в уравнение

Здесь и — константы; Величины удовлетворяют неравенствам (3.3). Определения величин получаются из определений в предыдущем абзаце, если опустить индексы От функции требуется дифференцируемость до порядка тех для некоторого целого положительного всюду на отрезке Теория уравнения (3.4), развиваемая в этих предположениях, может быть использована для теории уравнений (2.4) и (2.5) в теоремах 2.3 и 2.4.

Асимптотические корни уравнения (3.4) изучаются в § 2. Эта теория распространяется на изучение асимптотических корней уравнения (3.1) в § 3. В § 4 теория § 2 иллюстрируется подсчетом асимптотических корней конкретного уравнения типа (3.4), а в § 5 аналогичная иллюстрация дается к теории § 3. В § 6 иллюстрируются некоторые способы непосредственного вычисления корней характеристического уравнения. В § 7 даются методы улучшения точности вычисления корней характеристического уравнения, известных приближенно. В § 8 с помощью принципа аргумента изучается качественная картина расположения корней характеристического уравнения. В § 9 вводится понятие -плато для изучения влияния параметров характеристического уравнения на его корни. В § 10 это понятие используется в задаче нахождения таких параметров, для которых решение однородного дифференциально-разностного уравнения стремится к нулю наиболее быстро.

Если нужно решить конкретное характеристическое уравнение, то сначала следует определить асимптотические корни с помощью теории § 2 или § 3. Затем нужно получить приближения к неасимптотическим корням, используя асимптотические формулы или пользуясь прямыми или графическими методами § 6, и довести точность этих приближений до желаемой по методам § 7.