Приложение В. РАЗНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 1. Если функция интегрируема на интервале комплексное число, то

когда таким образом, что

Доказательство. См. книгу Титчмарша ([1], § 13.21). Предположим сначала, что существует на Тогда мы можем проинтегрировать по частям, что дает

В общем случае для произвольного существует (Титчмарш [1], § 11.7, § 12.2) функция имеющая производную на такая, что

Тогда

откуда и следует лемма.

Лемма 2. Пусть а и — порядки самых низших производных функции которые не равны нулю в точках соответственно, и пусть - целое положительное число. Предположим, что дифференцируема до порядка на отрезке Тогда для принимающих

комплексные значения,

при

Доказательство. Интегрируя по частям раз, получаем

По лемме 1,

Подставляя это значение в (2), получаем (1).

Лемма 3. Пусть -аналитическая функция в области имеющая изолированный нуль кратности в точке Пусть R - радиус произвольного круга с центром в точке лежащего целиком в и не содержащего других корней функции Пусть -аналитическая функция в —такая постоянная, что для Тогда уравнение

имеет корней внутри любого круга радиуса с центром в который лежит целиком в и удовлетворяет условию

где

Доказательство. По формуле Пуассона — Иенсена (Титч-марш [1], § 3.62),

Следовательно, по (3) и (4),

Поэтому на окружности радиуса с центром в и, по теореме Руше (Титчмарш [1], § 3.42), уравнение (3) имеет нулей внутри этого круга.