§ 2. Интегральные преобразования

Вероятно, наиболее сильным методом решения дифференциальноразностных уравнений является применение интегральных преобразований, для которых известны обращения. Пусть переменная дифференцирования и пусть переменная сдвига, представляемая точкой -мерного эвклидова пространства. Если мы рассматриваем систему дифференциально-разностных уравнений, мы должны добавить индекс для обозначения каждой компоненты решения. Таким образом, мы можем записать неизвестное решение в виде где, скажем, Положим тогда

где функции ограниченной вариации на измеримых множествах в произведении пространств Функции и берутся удобной формы. Задача состоит в определении функций и получении функций обращением преобразования (1.1).

Практически лишь немногие преобразования типа (1.1) имеют известные обращения и используются в теории дифференциальноразностных уравнений. Они перечисляются ниже. Тем не менее техника общих интегральных преобразований имеет ряд преимуществ. Условия существования интегралов вида (1.1) могут быть получены из теорем существования, подобных приведенным в приложении А. Далее, форма (1.1) удобна для задания начальных условий употребляемого обычно типа.

Кроме изучаемых здесь преобразований, имеются некоторые другие, очень близкие к преобразованиям Фурье и Лапласа, которые иногда выгодно применять при детальном рассмотрении частных задач. Два из них — это преобразования Меллина и Фурье — Бесселя.

2а. Преобразование Лапласа. К числу наиболее важных интегральных преобразований принадлежат те, в которых: а) ядро составлено из сомножителей вида

где множества суть функции представимы в виде произведений функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных

Типичными примерами являются преобразования

где запись обозначает 2 Преобразования, с которыми удается работать, обычно сводятся к простым преобразованиям Лапласа вида

или преобразованиям Лапласа — Стильтьеса вида

Эти преобразования могут быть обращены (см. Уиддер [1], гл. VI, § 5):

Теорема 1.1. Если функция интегрируема на каждом конечном интервале, интеграл (1.2) сходится абсолютно вдоль прямой имеет ограниченную вариацию в некоторой окрестности точки то

Теорема 1.2. Если есть функция с ограниченной вариацией, для которой

и интеграл (1.3) сходится в полосе то для всех

Из (1.2) следует, что

Следовательно, дифференцирование и сдвиг аргумента для функции переходят в простое умножение для функции и наоборот. Поэтому дифференциально-разностные уравнения могут быть иногда сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям (без отклонений аргумента), к разностным уравнениям или даже к алгебраическим уравнениям.

Для того чтобы применять преобразование Лапласа к дифференциально-разностным уравнениям, нужно кое-что знать о поведении неизвестных решений на бесконечности для обеспечения сходимости интеграла (1.2). Очевидно, нужно требовать, чтобы функция в (1.2) имела самое большее экспоненциальный рост при Теоремы об оценках решений, касающиеся роста решений дифференциально-разностных уравнений при стремлении независимой переменной к бесконечности, могут быть доказаны тем же путем, что и теоремы существования и единственности в приложении А. Они довольно громоздки. Мы не приводим их, так как трудность может быть преодолена другим способом. Для этого преобразование Лапласа применяется не к рассматриваемой функции, а к другой функции, которая совпадает с данной на некотором конечном интервале и равна нулю вне этого интервала. Этот метод развивается ниже в он связан с преобразованием Эйлера — Лапласа:

Это преобразование, по-видимому, впервые было введено Эйлером в 1737 г. [1] в связи с несколько искусственной задачей о составлении дифференциальных уравнений, имеющих некоторые специальные типы решений. В работе Эйлера еще не были выяснены свойства этих преобразований, которые делают их полезными для приложений. Кое-что в этом направлении было сделано Лапласом [3] в 1782 г., который совершил также важный шаг, сделав пределы бесконечными (что хотя и неудобно для наших целей, однако приводит к значительным упрощениям в некоторых других приложениях).

Эйлер и Лаплас применяли эти преобразования скорее способом, излагаемым ниже, в За, чем способом, описанным в этом пункте. Это значит, что в их работах неизвестной функцией была Она определялась с помощью интегрирования после того, как определялась Метод этого пункта не мог быть использован до того, как в 1823 г. Пуассон [2] открыл обращение преобразования Лапласа.

Если можно показать, что преобразование Лапласа (1.2) применимо, то проще применять его, чем преобразование Эйлера—Лапласа (1.11).

"Компромиссом" между преобразованием (1.2) (называемым "двусторонним” преобразованием Лапласа) и преобразованием (1.11) является одностороннее преобразование Лапласа

получающееся, если в (1.2) положить при Оно применимо в большем числе случаев, чем преобразование (1.2), но в меньшем, чем преобразование (1.11). Его использование менее просто, чем использование преобразования (1.2), но проще, чем использование преобразования (1.11). Оно чаще всего применяется в приложениях.

Пример. Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

с граничными условиями

Можно доказать, хотя мы не будем здесь этого делать, что существует единственное решение уравнения (1.13), удовлетворяющее

условиям (1.14), и что одностороннее преобразование Лапласа

существует для

В силу (1.13),

так что удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

Оно имеет решение

Согласно (1.14) и (1.15), так что и

Чтобы получить следует найти обращение что проще всего достигается разложением в ряд по степеням

Теперь мы можем применить теорему 1.1, взяв так как определено только для Получаем

Так как то ряд сходится равномерно и его можно интегрировать почленно, что дает

Далее,

что можно доказать, замкнув контур левой, соответственно правой, полуокружностью бесконечно большого радиуса и применив теорию вычетов. Это дает окончательно

где обозначает целую часть

Второй пример. Рассмотрим теперь дифференциально-разностное уравнение

которое исчерпывающим образом изучено многими авторами, в частности Барба [1], Хильбом [1], Перроном [2], Зильберштейном [1) и в особенности Шюрером [1], [3], [4], [6], [8]. Тинберген [1] встретился с этим уравнением в теории циклов в судостроительной промышленности (см. гл. X, § 4).

В качестве начального условия возьмем

Тогда уравнение (1.18) имеет единственное решение, для которого выполняется (1.19), такое, что для некоторого

существуют при Мы не будем доказывать здесь этих утверждений. Второй интеграл получен интегрированием по частям. Согласно (1.18),

Отсюда

Для , где имеет место разложение

Теорема 1.1 применима для, и дает

Так как то ряд сходится равномерно и его можно интегрировать почленно, откуда следует, что

Применяя (1.16), получаем

Поэтому

Общий класс представимых в виде ряда решений этого типа был исследован Брювье [1], [2] и Перроном [2].

Решение может быть получено в другом виде, если применить теорему 1.1 непосредственно к (1.20), что дает

где Контур интегрирования замыкается добавлением левой полуокружности бесконечно большого радиуса. Внутри этого контура будут содержаться все полюсы подинтегральной функции. По теореме Коши,

где суммирование производится по корням уравнения

Это уравнение имеет только простые корни, за исключением случая когда при будет двойной корень. В этом случае в ряде (1.22) члены, соответствующие этим двум корням, следует заменить на

При таком формальном подходе мы не рассматриваем вопроса о сходимости ряда (1.22), что требовалось бы при более строгом изложении. В гл. II мы строго изучим гораздо более широкий класс дифференциально-разностных уравнений.

Выражения в (1.21) и (1.22) равны друг другу. Выражение (1.21) более удобно, когда велико. Корни уравнения (1.23) изучаются в § 6 гл. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье тесно связано с преобразованием Лапласа. Действительно, одно может быть получено из другого поворотом на 90° в комплексной плоскости. Следует лишь заменить z на на в экспоненциальных сомножителях в . При этом (1.2) перейдет в преобразование Фурье

Простая модификация теоремы 1.1 дает следующую теорему:

Теорема 1.3. Если функция интегрируема на каждом конечном интервале, интеграл (1.24) абсолютно сходится вдоль

прямой имеет, ограниченную вариацию в некоторой окрестности точки то

Эта теорема доказана у Титчмарша [3]. Титчмарш применил преобразование Фурье для исследования дифференциально-разностных уравнений, и ему принадлежит важное замечание (Титчмарш [2], § 10.16), что нет необходимости иметь сведения о росте решений на бесконечности, если вместо преобразования Фурье использовать преобразование

где а и конечны. Мы используем эту мысль для развития теории гл. II, но проведем ее в применении к преобразованию Эйлера — Лапласа, которое является аналогом этого преобразования.

Последовательность действий при использовании преобразования Фурье почти такая же, как при использовании преобразования Лапласа, так что мы не будем ни иллюстрировать здесь применение преобразования Фурье, ни применять его в нашей дальнейшей работе.

2с. Преобразование Эйлера — Лапласа. Хотя преобразования типа

являются в действительности частными случаями преобразований (1.2) и (1.3), мы отводим им отдельный параграф как потому, что они играют важную роль в нашей работе, так и потому, что их использование связано с некоторыми особыми трудностями, не встречающимися при использовании преобразований (1.2) и (1.3). С другой стороны, преобразования (1.26) и (1.27) могут быть применены в случаях, когда интегралы в (1.2) и (1.3) не сходятся. Это иллюстрируется приведенным ниже примером.

Преобразования (1.26) и (1.27) могут быть обращены по теоремам 1.1 и 1.2, если положить

Далее, из теорем 1.1 и 1.2 вытекают следующие теоремы:

Теорема 1.4. Если функция интегрируема на имеет ограниченную вариацию в некоторой окрестности точки то для функции определенной по формуле (1.26), и произвольной константы с

Теорема 1.5. Если имеет ограниченную вариацию и

то для функции определенной по формуле (1.27),

Вычисление интегралов в (1.28) и (1.30) может быть связано с применением тех или иных приемов в зависимости от специальных

форм функций и Упомянем несколько методов, применимых в отдельных случаях.

I) Интегралы (1.28), (1.30) могут быть вычислены непосредственно и выражены через известные функции или сведены к употребительным определенным интегралам.

П) Если функция или получена в виде интеграла, то он иногда может быть преобразован к виду (1.26) или соответственно (1.27), так что или может быть определена непосредственно.

Ш) Если или содержит мероморфные члены, стремящиеся к нулю на правой или левой полуокружности при стремлении ее радиуса к бесконечности, то эти члены могут быть подсчитаны с помощью теории вычетов, если замкнуть контуры интегрирования в (1.26) или (1.27) соответствующей полуокружностью бесконечно большого радиуса.

IV) Из (1.26) и (1.27) следует, что существуют такие константы что

где может содержать и их производные, может содержать и их производные. Когда и содержат функции более высокого порядка, чем правые части неравенства (1.31), соответственно (1.32), то могут быть указаны соотношения, с помощью которых определяются или и, следовательно, или Это будет проиллюстрировано на примере.

V) Определяющие соотношения иногда могут быть получены и» того, что не зависят от а и

Применение преобразования (1.26) иллюстрируется теорией, развитой в гл. II. Более простая иллюстрация приводится здесь.

Пример. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

с начальным условием Решением, очевидно, является Ясно, что уравнение (1.33) не может быть решено ни. с помощью двустороннего преобразования Лапласа (1.2), ни с помощью одностороннего преобразования Лапласа (1.12), так как соответствующие интегралы расходятся для Интеграл же

при конечных а и существует.

Интегрируя (1.34) по частям, будем иметь

Продифференцировав, получим

Согласно (1.33),

Решив это уравнение, будем иметь

где С — произвольная постоянная.

Пусть теперь В силу (1.31), выражение в квадратных скобках должно стремиться к нулю, так что Пусть Опять в силу (1.31), выражение в квадратных скобках должно стремиться к нулю, так что

Эти интегралы легко вычисляются с помощью подстановок соответственно. Окончательно получаем

Эти выражения должны быть равны константе, так как а и независимы. Поэтому Используя начальное условие, получаем

Из этого примера видно, что преобразование Эйлера — Лапласа может дать не простейший путь решения задачи. Однако иногда оно может быть использовано в таких случаях, когда другие преобразования не применимы.

2d. Метод производящих функций. Метод производящих функций употребляется наиболее часто (хотя ни в коем случае не исключительным образом), когда интерес представляют лишь целочисленные значения переменной (или переменных) сдвига. При применении метода производящих функций интегралы, рассматриваемые в предыдущих параграфах этой главы, заменяются суммами. Эти суммы вычисляются и, наконец, свертываются для получения решений.

При применении метода производящих функций функции в (1.1) берутся ступенчатыми, что приводит к вырождению правой части (1.1) в ряд. Это можно сделать многими способами. Простой, но типичный пример в случае, когда мы имеем при

где

Если опустить индексы, то принимает вид

Это степенной ряд по Функции могут быть получены обычными способами, которые применяются для вычисления коэффициентов степенного ряда. Например, для

или

где С — замкнутый контур, окружающий начало координат на плоскости и целиком лежащий в области аналитичности по функции Можно просто разложить по степеням непосредственно и сравнить с (1.35).

Пример. Применим метод производящих функций к уравнению (1.13) с граничными условиями (1.14). Согласно (1.35),

Отсюда и из (1.13)

Это уравнение имеет решение

где подлежит определению.

Из (1.14) и (1.35) следует, что

если Поэтому

так что

Проще всего, по-видимому, разложить это выражение по степеням Перемножая ряды, получаем

Таким же образом

Отсюда

Сравнивая с (1.35) и замечая, что где мы получаем

что совпадает с (1.17).

Второй пример. Метод производящих функций можно применить также к уравнению (1.18) с начальным условием (1.19). Предположим, что и запишем

Далее,

Отсюда, согласно (1.18),

Это дифференциальное уравнение имеет решение

где функция подлежит определению.

Из (1.19), (1.38), (1.39) следует, что

Подставляя (1.40) в это выражение и разрешая его относительно получаем

Таким образом, согласно (1.40),

Это выражение может быть разложено по степеням следующим образом. Для

Полагая так что и сравнивая с (1.38), мы получаем

что совпадает с (1.21).

С другой стороны, предположим, что мы подставили (1.41) в (1.37). Если увеличивать контур С, устремляя его к окружности бесконечно большого радиуса, то он пересечет все полюсы за исключением полюса в начале координат. Кроме того, интеграл по окружности бесконечно большого радиуса равен нулю. Отсюда следует, что равно взятой со знаком минус сумме всех вычетов функции за исключением вычета в начале координат. Полюсы являются корнями уравнения

Мы получаем

Согласно (1.23), Поэтому, если то

что совпадает с (1.22).

Метод производящих функций обычно менее удобен для применения и менее изящен, чем метод преобразования Лапласа, за исключением того случая, когда интерес представляют только целочисленные значения переменных сдвига. Хотя это не сделано в предыдущих примерах, при строгом подходе необходимо показать, что ряды (1.35), (1.38) и ряды, полученные их почленным дифференцированием, сходятся равномерно. Для получения сведений этого рода требуются теоремы об ограниченности роста решений, точно так же как для применения преобразований Лапласа (1.2) и (1.12). По аналогии с теорией преобразования Эйлера — Лапласа можно (1.35) заменить частной суммой. Однако получающаяся теория будет довольно громоздкой.