§ 6. Непосредственное решение характеристического уравнения

Если в характеристическом уравнении

отделить действительную часть от мнимой, мы получаем два уравнения:

где Иногда можно решить совместно уравнения (3.40), в этих случаях задача определения неасимптотических корней намного упрощается.

Рассмотрим, например, характеристическое уравнение

соответствующее уравнению (1.18). Отделяя действительную часть от мнимой, получаем

Это дает

Уравнение (3.44) можно решить относительно у, а затем можно найти х по формуле (3.43). Для облегчения этого Фришем и Холмом и Джеймсом и Белзом [1] была опубликована таблица функции

которую мы воспроизводим (табл. 1). График этой функции приведен на фиг. 5.

(кликните для просмотра скана)

Когда решениями уравнения (3.44) являются значения у в областях что

Когда решениями (3.44) являются значения у в областях что

Асимптотические корни можно определить, применяя теорию § 2, но можно получить их и как в особом случае примера в § 4.

Фиг. 5.

Если в (3.37) мы положим то получим

где большое положительное целое число.

Система (3.40) может быть также решена графически построением кривых и нахождением точек их пересечения. Этот метод был использован Рейнхардтом (стр. 28) для решения характеристического уравнения

соответствующего дифференциально-разностному уравнению

Построив кривые

он получил

Интересно сравнить эти значения со значениями

полученными из формулы для асимптотических корней:

которая следует из теории § 2.