§ 3. (0, k)-плато в сечении b = 0

При границы плато по (5.8) и (5.9) будут соответствовать значениям для любого целого если Следовательно, уравнения границ плато в пространстве параметров примут вид

Уравнение (5.10) — это уравнение гиперболического параболоида. Уравнение (5.11) для представляет семейство плоскостей, проходящих через прямую а а уравнение (5.12) — семейство плоскостей, проходящих через прямую Гиперболический параболоид (5.10) является линейчатой поверхностью, проходящей как через прямую так и через прямую

Рассмотрим поперечное сечение плоскостью где —

Тогда (5.10) будет уравнением луча с угловым коэффициентом, лежащим между уравнением семейства прямых линий с угловым коэффициентом пересекающих ось с в точках уравнением семейства прямых линий с угловым коэффициентом пересекающих ось с в точках Все эти прямые показаны на фиг. 23 для типичного положительного значения а.

При прямые (5.12) и прямая (5.10) стремятся к прямой Когда а убывает от прямые (5.12) расходятся, прямые (5.11) сближаются и прямая (5.10) вращается против часовой стрелки. При прямые (5.11) и прямая (5.10) стремятся к прямой

Для определения числа псевдоположительных корней, соответствующих каждому плато, можно использовать § 8 гл. III. Согласно (5.3),

Начиная от точки где найдем, что на правой полуокружности бесконечно большого радиуса На мнимой оси по (3.65) и (5.13) получим, полагая

Выбирая по одной точке в каждой области фиг. 23, мы Определим, сколько раз точка с координатами (5.14) обходит начало ко ординат в плоскости а, V, когда у изменяется от до Это число плюс 1 и есть число псевдоположительных корней в области. Типичная кривая в плоскости случая и показана на фиг. 24. Так как важна только качественная картина, то такие кривые можно чертить приближенно, используя лишь несколько точек.

Фиг. 23.

Результаты исследования показаны на фиг. 23, где число, нанесенное на каждом -плато, является соответствующим значением Интересно отметить, что все устойчивые плато примыкают к линии (5.10).

Без труда могут быть построены другие сечения поверхностей (5.10) — (5.12). Сечение для постоянного показано на фиг. 25, на которой масштаб по горизонтали в раза меньше масштаба по вертикали. Границы плато — прямые линии. Прямая (5.10) проходит через точки Все прямые (5.11) проходят через точку и имеют угловые коэффициенты Все прямые (5.12) проходят через точку и имеют угловые коэффициенты Вспоминая трехмерную интерпретацию уравнений (5.10) — (5.12) легко определить на фиг. 23 значение для каждого плато поперечного сечения, данного на фиг. 25.

Если возрастает, то точки движутся соответственно вправо и влево. Прямая вращается по часовой стрелке.

Фиг. 24

Каждый раз, когда она пересекает одну из других наклонных прямых (которые сохраняют фиксированное направление), топология диаграммы меняется. Однако число псевдоположительных корней в каждом плато поперечного сечения может быть по-прежнему определено по фиг. 23.

Фиг. 25,

Устойчивое плато всегда примыкает к линии или с одной, или с другой стороны. Его кажущаяся узость на фиг. 25 обусловливается выбором масштаба. Тем не менее ясно, что для устойчивости необходимы условия

Когда увеличивается, устойчивое плато растягивается в направлении с и сильно сужается в направлении а. Следовательно, для и больших условия устойчивести становятся очень чувствительными к малому изменению параметра а.