§ 10. Выбор параметров для обеспечения максимального затухания

В § 9 мы упомянули задачи, в которых требуется, чтобы наибольшая из действительных частей всех, за исключением определенного числа, корней характеристического уравнения была настолько малой, насколько это возможно, чтобы получить максимальное затухание решения уравнения. В этом параграфе мы исследуем возможности обеспечить быстрое затухание подходящим выбором параметров уравнения. Мы предположим, что

Пусть множество действительных параметров рассматриваемого дифференциально-разностного уравнения. Предполагается, что они независимы и могут быть заданы произвольным образом. Характеристическое уравнение предполагается аналитическим по и может быть записано в виде

или

где Уравнения (3.74) являются действительной и мнимой частью уравнения (3.73).

Корни характеристического уравнения (3.73) зависят от параметров и движутся по комплексной плоскости при изменении этих параметров. Мы хотим передвинуть влево корень, который сначала расположен правее всех остальных. Ясно, что наше ограничение необходимо, так как в случае как видно из фиг. 3, существует такое что, в силу (3.13), множество корней характеристического уравнения распространяется неограниченно вправо.

Когда "самый правый" корень передвинулся влево, может произойти одно из двух. Прежде всего характер зависимости от параметров может быть таким, что этот корень может быть сдвинут влево только на конечное расстояние. Иначе говоря, х, рассматриваемый как функция от исключить у из уравнений (3.74)], может иметь конечное наименьшее значение. Это наименьшее значение будет настоящим минимумом, если допустимая область изменения всех параметров есть

Если какой-либо параметр изменяется в более узких пределах, то это наименьшее значение может не быть минимумом, а может соответствовать принятию этим параметром его граничного значения.

Второй возможный случай при перемещении "самого правого" корня влево возникнет, если он догонит другой корень, т. е. абсцисса его станет равной абсциссе другого корня. Тогда нужно будет двигать влево оба корня таким образом, чтобы их абсциссы оставались равными. Ясно, что это накладывает более сильные ограничения на параметры. Например, в типичном случае для перемещения одного корня влево оказалось бы достаточно изменения одного параметра, а для перемещения двух корней влево таким образом, чтобы их абсциссы оставались равными, потребовалось бы изменение двух параметров.

При перемещении двух корней влево опять имеется два возможных случая. Первый случай — когда абсцисса корней х, рассматриваемая как функция параметров, снова достигает минимального значения. Второй случай—: когда два корня вместе догоняют третий корень. Тогда мы пытаемся двигать вместе все три корня влево и т. д. Очевидно, что процесс заканчивается при исчерпании имеющегося запаса параметров.

В этом процессе двойной корень считается за два корня, тройной корень — за три корня и т. д.

Уравнения (3.73) или (3.74) определяют гиперповерхность -мерном пространстве Эта поверхность может пересекать себя, разделяя пространство на отдельные части, которые будут называться корневыми ячейками. Каждая ячейка обладает тем свойством, что существует некоторое целое число такое, что для каждой точки внутри ячейки существует и только корней характеристического уравнения, действительные части которых превосходят Такая ячейка называется -корневой ячейкой.

Так как пересечение -корневой ячейки с гиперплоскостью есть -плато, то корневые ячейки в пространстве можно изучать, рассматривая плато для различных значений х.

В частности, мы хотим найти основание -корневой ячейки, т. е. наименьшее значение х в рассматриваемой ячейке. Оно будет

называться -основанием. На практике легче сначала найти всевозможные конечные основания корневых ячеек, а затем отнести каждому основанию соответствующее ему значение

Основание корневой ячейки лежит на границе ячейки и поэтому удовлетворяет уравнению (3.73) или уравнениям (3.74). Рассмотрим проекцию границы корневой ячейки в -мерное пространство Это пространство разделяется на различные области, каждая из которых соответствует одному и только одному определенному корню характеристического уравнения, являющемуся самым правым на комплексной плоскости Сначала мы смотрим, не имеет ли х как функция от минимумов в какой-либо из этих однокорневых областей. Наименьший из этих минимумов может быть основанием корневой ячейки. Далее мы исследуем границы однокорневых областей. Эти двухкорневые области соответствуют двум характеристическим корням, имеющим одинаковые абсциссы. Ограничиваясь лежащими в такой области, мы смотрим, не имеет ли х как функция от минимумов в двухкорневых областях. Затем мы ищем минимумы в трехкорневых областях, лежащих на границах двухкорневых областей, и т. д. -корневая область соответствует характеристическим корням, имеющим одинаковые абсциссы.

В конце концов минимум будет найден, так как параметры исчерпаются. Корень наибольшей кратности, которая может быть получена при заданных параметрах, определяет нижнюю грань для наибольшей действительной части корней характеристического уравнения, так как из-за исчерпания всех параметров он не может быть сдвинут далее влево. Эта грань не всегда достигается.

Пусть обозначает производную

Если корни характеристического уравнения все имеют одинаковые абсциссы, так что то

где ееть кратность корня

Соотношения (3.75) могут определить все неизвестные этом случае задача решена. В противном случае мы должны искать минимум х как функции от при условиях (3.75). В этом случае в дополнение

к (3.75) мы можем записать

так как Величины нужно исключить. Для в случае кратных корней это получается автоматически.

Для мы можем разделить на и взять действительную часть:

Это линейные однородные уравнения относительно величин их можно записать в виде

где Величины образуют матрицу такую, что любой определитель порядка образованный из этой матрицы, равен нулю. Эти уравнения совместно с уравнениями (3.75) определяют точку минимума, если она существует.

Этот процесс часто является весьма трудоемким. Однако если удается фактически показать, что корень наивысшей возможной кратности имеет также и наибольшую действительную часть, то положение упрощается. Этот случай рассматривается в § 6 гл. IV и в § 7 гл. V, где указаны условия, при которых все корни характеристического уравнения имеют одинаковую действительную часть.

Если число параметров невелико, то этой работы можно избежать применением графических методов. Случай такого рода рассмотрен в § 7 гл. IV.