§ 5. Асимптотические корни характеристического уравнения

Выражения для асимптотических корней часто дают качественную информацию относительно расположения неасимптотических корней, облегчая таким образом их вычисление с помощью методов, подобных изложенным в § 7 гл. III. В этом параграфе мы получим выражения для асимптотических корней уравнения (5.3), используя теорию § 2 гл. III.

Уравнение (5.3) является частным случаем уравнения вида (3.4) и получается при -диаграмма для уравнения (5.3) содержит точки (если ). Существует только один -сегмент, и для него если если и если Случай соответствует, чисто дифференциальному уравнению и здесь не рассматривается.

Предположим сначала, что Тогда Главным членам в (3.10) соответствуют только точки (0,2) и (1,2) на Действительно, согласно (3.10) и (5.3), Уравнение (3.15) принимает вид

так что Согласно (3.14), асимптотические корни представимы формулами

Теперь пусть Тогда Единственным L-сегментом будет теперь отрезок соединяющий точки (0,2) и (1,1), единственные точки D-множества на Для них, по (3.10) и (5.3), Уравнение (3.12) принимает вид

Оно имеет ненулевой корень Поэтому, в силу (3.13),

Наконец, пусть Тогда динственным -сегментом будет отрезок, соединяющий точки (0,2)

и (1,0), являющиеся единственными точками D-множества на Тогда, согласно (3.10) и (5.3), . Уравнение (3.12) принимает вид

Оно имеет корни Поэтому, в силу (3.13),