Глава VIII. ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

§ 1. Введение

В этой главе мы кратко рассмотрим два типа задач, связанных с дифференциально-разностными уравнениями. В § 2 мы опишем метод получения решений дифференциально-разностных уравнений с несколькими индексами, при котором задачи сводятся к решению дифференциально-разностных уравнений с одним индексом, аналогичных уравнениям гл. VII. Этот метод дополняет метод разделения переменных. В § 3 он применяется к задаче о движении плоской сети, а в § 4 — к задаче диффузии вдоль нитей сети.

К дифференциально-разностным уравнениям сводится большое число функциональных уравнений. В § 5 рассматривается один класс таких уравнений и разбираются некоторые характерные примеры. В § 6 с помощью сведения функционального уравнения к дифференциально-разностному решается одна геометрическая задача.

§ 2. Кратные индексы

Дифференциально-разностные уравнения гл. VII имели только один разностный индекс, или переменную, по которой в уравнении берутся разности. Когда имеется несколько таких индексов, то часто можно свести задачу к решению одного или большего числа одно-индексных дифференциально-разностных уравнений. Один метод такого сведения состоит в разделении переменных, применяемом в теории дифференциальных уравнений с частными производными. При этом неизвестная функция разлагается в произведение величин, каждая из которых является функцией одной переменной. Мы изложим здесь другой, несколько менее прозрачный способ. Он состоит в развитии идеи, которая в зачаточном состоянии высказана в работе Бейтмена [4] (стр. 508).

Прежде всего предположим, что уравнение можно преобразовать так, чтобы в него входили только целочисленные разности. Тогда разностные переменные можно для удобства записывать как подстрочные индексы. Мы будем пользоваться обычными разностными обозначениями. Так, обозначает разность или Это уточняется в конкретных задачах. Предположим, что мы имеем разностных переменных и одну

переменную дифференцирования Будем рассматривать уравнения, которые могут быть записаны в виде

где полиномы от своих аргументов, а — функция от

Теперь рассмотрим уравнение

где Это дифференциальное уравнение в частных производных с неизвестной функцией от аргументов Его решение будет, вообще говоря, содержать произвольную функцию или по крайней мере произвольные постоянные. Мы будем рассматривать это решение как функцию от индексов которые не участвуют в уравнении (8.2). Тогда будет также функцией от и может быть записана в виде Если теперь зависимость от переменных такова, что

то ясно, что рассматриваемая как функция от будет решением уравнения (8.1), причем величины будут играть роль произвольных параметров.

Этот метод мы проиллюстрируем в §§ 3 и 4. Следует отметить, что цель этого метода состоит в получении решений уравнения (8.1). Вопросы существования и единственности нужно рассматривать особо.