§ 2. (x, k)-плато на (a, b)-плоскости

Исследование корней характеристического уравнения

легко проводится в терминах, связанных с понятием -плато, введенным в § 9 гл. III. Полагая и отделяя в (4.3) действительную и мнимую части, мы получаем два уравнения:

Согласно (3.69), эти уравнения являются уравнениями границ -плато на -плсскости, причем х рассматривается как постоянное, а у — как параметр. Они удовлетворяются при и

Уравнение (4.6) есть уравнение прямой на -плоскости, проходящей через точки и имеющей угловой коэффициент, равный Если то уравнения (4.4) и (4.5) удовлетворяются при

Для фиксированного х это параметрические уравнения с параметром у некоторой кривой на -плоскости. Правые части в (4.7) являются четными функциями от у, так что при отрицательных значениях у просто проходится еще раз граница -плато, соответствующая положительным значениям у. В соответствии с этим кривую (4.7) можно рассматривать как двойную кривую, начинающуюся при и ее следует строить только для положительных значений у. При переходе точки через эту кривую два корня характеристического уравнения перейдут через прямую на плоскости

Начальные точки кривой (4.7), соответствующие значению представляют особый интерес. Это точки

Эти точки лежат на кривой, приведенной на фиг. 7. Точка возврата соответствует Кривая имеет угол наклона и касается прямой (4.6), причем точка касания является начальной точкой (4.8) для того же х.

Кривая (4.7) проходит через последовательно повторяющиеся точки для значений у, соответствующих корням уравнений [т. е. соответственно. Прямая (4.6) также проходит через .

Кратные корни характеристического уравнения находятся приравниванием нулю и его производных. Отделяя в получающихся уравнениях действительную и мнимую части, непосредственно находим, что двойной корень характеристического уравнения существует тогда и только тогда, когда точка лежит на кривой (4.8). Этот корень действителен и имеет значение Когда т. е. в точке возврата на фиг. 7, существует тройной корень, имеющий значение

Фиг. 7.

На фиг. 8—20 кривые (4.6) и (4.7) построены для где Абсцисса равна а ордината равна в каждом случае. Прямая на каждом чертеже соответствует (4.6). Начальные точки кривой (4.7) лежат на этой прямой. Точки чертежа, соответствующие (4.7), построены для при

Эти точки указаны на всех чертежах. На фиг. 8 около каждой точки указано соответствующее значение (малые числа около кривой). На фиг. 9—20 эти числа не нанесены, однако на этих чертежах соответствующие значения для каждой точки могут быть получены непосредственно сравнением с фиг. 8. Построенные кривые являются границами -плато. Значение х является, конечно, постоянным для каждой фигуры; оно указано в подписях к фигурам. Значение для каждого плато обозначено на фиг. 8 большими числами. На фиг. 9—20 нет этих обозначений, но они аналогичны обозначениям на фиг. 8 и могут быть получены путем сравнения, за исключением того, что -плато отсутствует на фиг. 19 и 20. Индекс имеет значение для областей слева от (как на фиг. 8—10) и для областей справа от (как на фиг. 12—20).

Фиг. 8—20 был придан удобный размер умножением на масштабный множитель Оказывается, что плато быстро уменьшаются в размере, когда х убывает. -корневая ячейка имеет основание при Для А-корневая ячейка имеет основание при у не определено.

Это лучше видно на фиг. 21, на которой кривые фигур 8—20 нанесены все в одном масштабе, что дает «контурную карту» -корневых ячеек для -плато, определяющие -корневую ячейку, находятся вблизи середины фигуры. Они ограничены снизу сплошными прямыми линиями, а сверху сплошными линиями, обращенными вогнутостью книзу. -плато, определяющие 1-корневую ячейку, находятся в нижней части фигуры. Они ограничены сверху сплошными прямыми линиями, а снизу пунктирными линиями, обращенными вогнутостью кверху. -пла-то, определяющие -корне-вую ячейку, находятся в верхней части фигуры. Они ограничены снизу сплошными линиями; сверху они ограничены штрих-пунктирными линиями. Те и другие обращены вогнутостью книзу.

Фиг. 8.

Крайние кривые этих трех семейств границ плато соответствуют т. е. фиг. 8. Следующие соответствуют т. е. случаю фиг. 9, и т. д. От одной кривой к лежащей внутри нее следующей кривой х уменьшается на Таким образом, для любой кривой, принадлежащей к одному из семейств, где есть номер кривой в семействе, если считать снаружи внутрь.

В дополнение к этому вычерчены кривые, вдоль которых у сохраняет постоянное значение. Они пересекают первые три семейства и являются более или менее радиальными. Они соответствуют

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Значение q для каждой такой кривой указано в точках их пересечения с внешними границами плато.

Абсцисса равна а, а ордината равна Во избежание дальнейшего усложнения фигуры координатная сетка опущена. Однако масштаб приведен в нижнем левом углу. Координатные оси указаны штрих-пунктирными линиями. Значения а и могут быть измерены по горизонтальному и вертикальному направлениям соответственно с помощью масштаба и циркуля.

Фиг. 22. Центральная часть фиг. 21 в увеличенном масштабе.

Для данных а и действительные части корней характеристических уравнений должны быть значениями х, при которых границы -плато проходят через для Если точка отмечена на фиг. 21, то соответствующее значение х может быть получено интерполяцией между нанесенными границами плато. Точно так же мнимые части корней могут быть получены интерполяцией между кривыми Если нужна ббльшая точность, то для уточнения этих графически полученных данных могут быть использованы методы § 7 гл. III.

На фиг. 21 имеются сведения лишь о нескольких корнях, расположенных вблизи начала координат. Однако во многих задачах эти корни являются наиболее важными. В некоторых задачах проектирования! поведение этих корней используется для определения констант а и

затем остальные корни могут быть подсчитаны численными методами.

Корни, расположенные настолько далеко от начала координат, что их нельзя получить из фиг. 21, могут быть, вообще говоря, аппроксимированы с помощью асимптотических формул для корней, которые будут даны в § 3.

Уравнение (4.3) может иметь от 0 до 3 действительных корней. Если и точка лежит выше кривой (4.8) на фиг. 7, то действительных корней нет. Если и точка лежит ниже этой кривой, то имеются два действительных корня. Если и точка находится вне замкнутой области, ограниченной кривой и осью то имеется один действительный корень. Если и точка находится внутри этой области, то существуют три действительных корня.

Существует бесконечное множество комплексных корней, и они входят комплексно сопряженными парами. Мы обозначим эти корни Если действительных корней нет, то мы будем считать, что отсутствует в этой последовательности и что и комплексно сопряженные корни для будут иметь соответственно положительную и отрицательную мнимую часть.

Если существует точно один действительный корень, будем обозначать его для будем считать, как и выше, комплексно сопряженными корнями.

Если существуют точно два действительных корня, то опять будем считать, что отсутствует в последовательности. Два действительных корня обозначим так, чтобы Для будут комплексно сопряженными корнями, причем корнем с положительной мнимой частью.

Если существуют точно три действительных корня, то опять будет членом последовательности. Три действительных корня будут обозначены таким образом, чтобы Для будут комплексно сопряженными корнями, как в предыдущем абзаце.

Двойной корень будет, если Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда точка лежит на кривой (4.8) на фиг. 7. При этом

Тройной корень будет, если Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда точка совпадает с точкой возврата на кривой (4.8) на фиг. 7. При этом