§ 5. Доказательство общих теорем о разложении решений

Сначала мы докажем теорему 2.1. Из условий А из § 2 и I из § 3 следует, что система уравнений (2.1) может быть приведена к уравнению вида (2) из приложения А и, таким образом, по теореме 2 из приложения А имеет единственное решение такое, что для функции интегрируемы и имеют ограниченную вариацию на каждом конечном интервале в области Из теоремы 1.4 следует, что существуют преобразования Эйлера — Лапласа этих функций и их обращения.

Пусть а и такие константы, что и пусть

Интегрируя по частям [а раз, где получаем

Далее,

Поэтому, согласно (2.14),

где

Умножая уравнение (2.1) на и интегрируя до получаем

где определены по формуле (2.9),

и

Для определим

где и равны нулю при Тогда, по (2.9),

и

где

В силу (2.20), выражение (2.21) может быть записано в виде

Согласно (2.17), при

По (2.6) и теореме 1.4, для

где - произвольное действительное число и

Подставляя (2.17) и (2.23) в (2.24) и используя то, что

получаем -1

где

Пусть теперь очень большое число. Тогда по теореме 3.2 мы можем построить "почти круглый" контур на плоскости обходящий начало координат на расстоянии и имеющий положительное минимальное расстояние порядка от любого корня характеристического уравнения. Для лежащих на С, из (3.24) следует, что

Рассмотрим для и лежащих на части расположенной слева от прямой Согласно (2.19), (2.22) и лемме 1 из приложения В,

Отсюда, в силу (2.27) и (2.28),

Из этого следует, что интеграл от по левой части есть равномерно по для

Точно так же можно показать, что интеграл от по правой части есть равномерно по для

По существу таким же образом можно показать, что величина интеграла (2.26), взятого по части его контура, расположенной вне есть равномерно по при

Соответственно для

где проходимые против часовой стрелки контуры, составленные из отрезка контура (2.26), лежащего внутри и частей лежащих соответственно слева и справа от этого отрезка, и где при равномерно по при а

Согласно (2.27),

В силу (2.1), (2.19) и (2.22),

Поэтому, по (2.20),

Это выражение аналитично в конечной части плоскости, так что

где С — любой ограниченный контур на плоскости Отсюда следует, что интегралы в (2.29) не зависят от а и и что как а, так и могут быть заменены произвольным Затем оба интеграла можно объединить в один, что дает

для . Черта над у была опущена в силу (2.25) и того, что для функции непрерывны. Согласно (2.20),

Подставляя это выражение в (2.27) и используя то, что

получаем

Применяя лемму 1 из приложения А к (2.22) и (2.31), мы видим, что аналитична всюду внутри кроме полюсов в корнях характеристического уравнения Поэтому интеграл в (2.30) можно вычислить с помощью теории вычетов. Пусть есть кратность корня характеристического уравнения Тогда, положив в (2.31), будем иметь

где функция определена по формуле (2.10). Устремляя мы получаем (2.7), и теорема доказана.

Для доказательства теоремы 2.2 требуется лишь небольшое изменение в доказательстве теоремы 2.1. Предположения В из § 2 и II из § 3 делают возможным применение теоремы 4 из приложения А, что обеспечивает единственность и аналитичность решений и обосновывает использование преобразования Эйлера — Лапласа в (2.13). Далее доказательство протекает точно так же, за исключением того, что в верхнем пределе суммирования в некоторых суммах должно быть заменено на

Теорема 2.3 доказывается применением теоремы 2.1 в случае и частично путем выполнения дифференцирования по указанного в (2.7). Это облегчается применением формулы

Теорема 2.4 получается из теоремы 2.2 таким же образом, как теорема 2.3 из теоремы 2.1.