Глава IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И С ОДНИМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
§ 1. Введение
Дифференциально-разностное уравнение
весьма удобно для иллюстрации теории предыдущих глав и является одним из наиболее важных для приложений дифференциально-разностных уравнений. Частные случаи этого уравнения и уравнения, получаемые из него простыми преобразованиями (например, уравнения, получаемые заменой 
на 
у на 
и т. д., где 
-постоянные), изучали многие авторы, в частности Андронов и Майер [1], Барба [1], Фриш [1], Фриш и Холм [1], Хоул [1], [2], Джеймс и Белз [1], [2], Климпт [1], Лакруа [1], Майснер [1], Рокар [1], Шюрер [1] — [8], Зильберштейн [1], Тейс [1], Тинберген [1] — [3], Тушар [1] и Воло [1].
Здесь а и b — константы. Функция 
предполагается интегрируемой и имеющей ограниченную вариацию по 
на каждом конечном интервале в области 
В качестве начальных условий мы задаем производную 
определенную, интегрируемую и имеющую ограниченную вариацию на 
и значение 
задаваемое в некоторой фиксированной точке 
такой, что 
Уравнение (4.1) является уравнением вида (2.4) с
Предположения теоремы 2.3 выполнены. Поэтому уравнение (4.1) имеет единственное решение 
такое, что 
интегрируема и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области 
Функция 
непрерывна при 
При 
Для 
функция 
может быть выражена в виде бесконечного ряда типа (2.11). Суммирование в этом ряде производится по корням 
характеристического уравнения
Вид этого ряда зависит от наличия или отсутствия кратных корней уравнения (4.3). Поэтому в § 2 и § 3 мы будем изучать корни уравнения (4.3). Ряд для 
будет затем записан в различных случаях в §§ 4, 5 и 6. В § 6 рассматривается случай максимального затухания. В § 7 решается модифицированная задача о максимальном затухании.
