§ 3. Интегральные представления

Часто случается, что решение системы дифференциальноразностных уравнений может быть представлено в виде

где функции, имеющие ограниченную вариацию на измеримых множествах в произведении пространств Здесь - переменная дифференцирования, переменная сдвига (которая может быть представлена точкой -мерного эвклидова пространства). Функциям придана удобная форма. Задача состоит в определении функций

Эти методы интегрального представления имеют прежде всего эвристическую ценность. Обычно трудно предположить заранее представимость неизвестного решения в виде (1.42) и оценить общность решений, полученных этим путем. Наложение начальных условий часто затруднено, за исключением того случая, когда для (1.42) существуют удобные формулы обращения. В этом случае возможно и предпочтительно применять методы преобразований типа описанных в § 2. С другой стороны, методы интегрального представления иногда позволяют получить по крайней мере некоторые из возможных решений дифференциально-разностного уравнения, когда методы интегральных преобразований не применимы.

Метод интегрального представления может быть идентифицирован с тем, что Бейтмен называет "методом определенных интегралов" (Бейтмен [4]); этот метод имеет также широкое применение в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными.

Полезными оказываются некоторые специальные формы функций Они будут кратко рассмотрены в следующих пунктах. Обобщение этих методов на случай многих переменных будет очевидным.

3а. Представление Лапласа—Стилыпъеса. В представлении Лапласа-Стильтьеса функции в (1.42) состоят из множителей вида

Пример. Рассматривая уравнение (1.18), мы можем положить

где С — некоторый контур на плоскости Подставляя это выражение в (1.18), получаем

Это уравнение будет удовлетворяться, если будет ступени чатой функцией вдоль контура С, имеющей точки разрыва в корнях, уравнения

Контур С должен проходить через все корни этого уравнения. Иначе говоря, по (1.43),

где суммирование производится по всем корням (1.44).

Если имеются начальные условия, то постоянные а" можно вычислить с помощью использования соотношений ортогональности для функций Этот процесс утомителен и трудно поддается обоснованию, так что в случае необходимости наложения начальных условий предпочтительна техника интегральных преобразований.

3в. Представление в виде степенного ряда. Представление (1.42) сводится к степенному ряду, когда функции содержат множители вида

а функции являются ступенчатыми.

Пример. Представление

подходит для решения уравнения (1.13). Подставляя (1.45) в (1.13), получаем

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

для Отсюда

Правую часть этого уравнения можно обозначить через Тогда, в силу (1.45), функция

будет общим решением уравнения (1.13). Конечно, не очевидно, что это решение является наиболее общим решением. Действительно, на произвольную функцию следует наложить больше ограничений, чем это сделано при таком формальном подходе. В частности, мы должны требовать равномерной сходимости ряда (1.46). На такие вопросы иногда нельзя ответить заранее. В действительности это и не является необходимым. Эвристическим способом можно найти такую функцию, которую следует взять в качестве чтобы удовлетворить заданным начальным условиям. Затем можно обосновать операции с известным рядом, который получается из (1.46) подстановкой этой функции

Мы можем проиллюстрировать это формальным процессом выбора соответствующей формы (1.46) для удовлетворения граничных условий (1.14). Согласно (1.14) и (1.46),

Эти условия вместе дают

Тогда (1.46) принимает вид

что согласуется с (1.17). Этот ряд состоит в действительности из конечного числа членов, так что все проделанные выше операции, очевидно, законны.

Метод представления в виде степенного ряда часто весьма прост и, когда начальные условия могут быть представлены в виде степенного ряда, может быстро привести к полному решению рассматриваемой задачи. Однако для того, чтобы показать, что полученные решения достаточно общи, нужны, как обычно, теоремы существования и единственности.