§ 6. Асимптотическая оценка остаточного члена ряда, представляющего решение

Следующая теорема касается поведения решений системы уравнений (2.1) при Она будет использована при изучении нелинейных дифференциально-разностных уравнений в гл. IX.

Теорема 2.5. Пусть Пусть выполнены условия А из § 2 и I из § 3. Пусть существуют такие функции что

где постоянные.

Тогда справедливы не только заключения теоремы 2.1, но и следующее утверждение: если в формуле (2.7) суммирование производится только по какому-нибудь конечному множеству корней характеристического уравнения (2.8), включающему все те корни, действительные части которых больше или равны х, то остаток ряда имеет порядок

Доказательство. По теореме 3.1, существует только конечное число корней характеристического уравнения с действительной частью, большей или равной х, так что множество действительно может быть конечным. Ясно, что достаточно доказать теорему для случая, когда 5 совпадает с множеством всех корней характеристического уравнения, действительные части которых больше или равны х.

Пусть обозначает отличное от нуля действительное число, меньшее х, но большее, чем действительная часть любого корня характеристического уравнения, действительная часть которого меньше х.

В доказательстве теоремы 2.1 положим Пусть Тогда, в силу в (2.26) можно заменить на Поэтому для

Второй интеграл справа можно вычислить таким же образом, как в доказательстве теоремы 2.1 после формулы (2.27) в § 5. Мы получим конечную сумму, не зависящую от Она совпадает с суммой ряда (2.7), когда суммирование производится только по корням из

Остается показать, что первый интеграл справа в (2.33) есть Интегрируя первый член в (2.27) по частям, мы имеем

Величину последнего члена можно вычислить непосредственно, замкнув контур слева полуокружностью бесконечно большого радиуса и применив теорию вычетов. Его величина равна нулю при и равна

при Последнее выражение, однако, не превосходит

Согласно (2.19), (2.22), (2.32) и лемме 1 из приложения В, поскольку имеем

Отсюда и из (2.28) видно, что все члены справа в (2.34), за исключением последнего, превосходят Поэтому порядок этих членов в первом интеграле справа в (2.33) есть и теорема доказана.

Следствие. Пусть

Предположим, что выполнены условия А из § 2 и I из § 3. Пусть и

где М — неотрицательная константа. Тогда выполняются не только заключения теоремы 2.1 для однородного уравнения (2.1), но и следующее утверждение: если в формуле (2.7) суммирование производится только по конечному множеству корней характеристического уравнения (2.8), то величина остатка асимптотически по приближается к члену или членам в отброшенной части ряда, показатели которых имеют наибольшие действительные части.

Доказательство. Это непосредственно следует из теоремы 2.5, так как в силу того, что мы можем считать Р равным нулю и придавать х любое значение, согласующееся с предположениями относительно множества в теореме 2.5. Предположим, что к множеству мы временно добавили корень или корни характеристического уравнения, имеющие наибольшие действительные части среди корней, не входящих в 5. Мы можем дать к значение, меньшее, чем эти действительные части, так что порядок нового остатка будет ниже, чем порядок временно добавленных членов. Поэтому старый остаток асимптотически приближается к этим членам.