§ 8. Принцип аргумента

Во многих задачах требуется только качественная информация о расположении корней характеристического уравнения. В вопросе об устойчивости, например, достаточно знать, будут ли все корни иметь отрицательные действительные части или нет. Такие вопросы часто могут быть разрешены с помощью принципа аргумента (ср. Шерман [1], Ансофф и Крумхансл [1]). Формой его, наиболее удобной для наших целей, является следующая теорема.

Теорема 3.3. Если функция аналитична внутри простого замкнутого контура С и на нем, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет ни нулей, ни полюсов на С, то

где числа нулей и полюсов соответственно функции внутри С (нуль или полюс кратности считается раз) и где обозначает полное приращение когда z пробегает С один раз против часовой стрелки, начиная с любой точки на С.

Эта теорема доказана у Титчмарша § 3.4, § 3.41).

Для того чтобы определить число корней в правой половине плоскости возьмем в качестве контура С правую половину окружности радиуса R с центром в начале координат и сегмент — оси у. Затем устремим R к бесконечности.

Наличия корней или полюсов на контуре С можно избежать, если это нужно, немного деформируя контур. После того как выбран контур С, функция вычисляется вдоль этого контура, и если действительная и мнимая части вместе обращаются в нуль или становятся бесконечными (что соответствует прохождению контура С через нуль или соответственно полюс), то для того, чтобы сделать определенным приращение в этой окрестности, можно немного деформировать контур.

Иногда удобно построить на плоскости график отображения контура С посредством функции

Число обходов этого графика вокруг начала координат на плоскости равно тогда

В качестве простого примера найдем число корней уравнения

имеющих положительные действительные части. Заметим прежде всего, что на мнимой оси корней нет. Пусть С составлен из мнимой оси и правой полуокружности бесконечно большого радиуса.

Начиная с точки где получаем, что на правой полуокружности бесконечно большого радиуса Вдоль мнимой оси так что на мнимой оси Поэтому Далее, так что, согласно (3.64), уравнение (3.66) имеет три корня с положительными действительными частями. Этими корнями, очевидно, являются

В качестве второго примера рассмотрим уравнение

изученное в § 6. Это уравнение и уравнения, получающиеся из него простыми преобразованиями, рассматривали Эйлер [3], Фриш и Холм [1], Хейс [1], Джеймс и Белз [1], [2], Калецкий [1], Лемерэ [1], Перрон [2], стр. 280, Шюрер [1], стр. 175, Тинберген [1] и другие. Мы изучим корни, имеющие положительные действительные части, когда у действительно.

Пусть С — тот же контур, что в последнем примере. Проследим поведение графика отображения С на плоскость посредством функции

Правая полуокружность бесконечно большого радиуса на плоскости z отображается в правую полуокружность бесконечно большого радиуса на плоскости Точки ( на мнимой оси плоскости z переходят в точки

Это параметрическое уравнение трохоиды на плоскости которая описывается точкой Р, отстоящей на расстоянии у от центра

единичной окружности с центром на оси у, когда она катится без скольжения вдоль прямой . Когда центр находится в начале координат, точка Р совпадает с Для и 2,0 кривые изображены на фиг. 6. Они обходят начало координат 1, 0,

0 и 2 раза соответственно. Этому отвечают 1, 0, 0 и 2 корня характеристического уравнения, имеющие положительные действительные части. Очевидно, что при больших существует много корней с положительными действительными частями.

Когда у возрастает от 0, псевдоположительных корней нет до тех пор, пока на кривой не образуется петля (фиг. 6), проходящая через начало координат. Тогда появляются два псевдоположительных корня, существующие до тех пор, пока к первой петле не присоединятся еще две, проходящие (одновременно) через начало координат. После этого будет четыре псевдоположительных корня до тех пор, пока следующие две петли не коснутся одновременно начала координат, и т. д. Согласно (3.68), значениями у, соответствующими появлению новых пар псевдоположительных корней, будут для

Фиг. 6.

Когда у убывает от 0, появляется семейство трохоид, подобное семейству для но смещенное в направлении оси у на расстояние Имеется один псевдо-положительный корень до тех пор, пока две петли не пройдут (одновременно) через начало координат. Затем будут три псевдоположительных корня до тех пор, пока следующие две петли не пройдут через начало координат, и т. д. Граничными значениями у теперь будут для

Итак, уравнение (3.67) не имеет псевдоположительных корней, когда имеет псевдоположительных корней, когда для имеет один псевдо-положительный корень, когда и имеет псевдоположительных корней, когда для