§ 4. Уравнение ...

Это уравнение было изучено Брювье [1], [2] и Перроном [2], которые, в частности, рассмотрели его связь с рядами вида

входящими в некоторые частные решения этого уравнения.

Здесь постоянные. Функция аналитична в области, содержащей положительную часть действительной оси. Начальные условия состоят в том, что предполагается заданной и аналитичной в окрестности отрезка причем она должна удовлетворять приведенному ниже уравнению (6.13) для принадлежащих интервалу

Теорема 2.4 будет применима, если уравнение продифференцировать один раз, что дает

Это уравнение (2.4) с Так как предположения теоремы 2.4 удовлетворяются, то уравнение имеет единственное аналитическое решение в окрестности луча действительной оси.

Согласно (2.12), характеристическое уравнение будет иметь вид

где

D-диаграмма для уравнения (6.14) содержит точки В силу (3.13), асимптотические корни образуют М цепей, причем элементы цепи даются формулой

где есть корень уравнения

Если мы подставим в и разложим полученное выражение на действительную и мнимую части, то найдем

Значения определяются из (6.17). Уравнение (6.18) можно решить относительно у, после чего соответствующие значения х определяются из . Другой способ нахождения по известным состоит в построении кривых

и нахождении их точек пересечения с кривыми (6.19). Эти способы полезны прежде всего для нахождения корней вблизи начала координат, когда формула (6.16) не применима. В случае необходимости точность может быть повышена методами § 7 гл. III.

Согласно (2.11), ряд, представляющий решение дифференциальноразностного уравнения, будет иметь вид

где суммирование распространено на все корни характеристического уравнения, за исключением Ряд (6.21) сходится абсолютно и равномерно на любом конечном интервале в области