§ 4. Диффузия в сети

Теперь мы рассмотрим диффузию вещества (или тепла) по нитям бесконечной плоской сети, ячейки которой образуют единичные квадраты. Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная система координат с осями, параллельными нитям сети, так, что

точки пересечения нитей имеют целочисленные координаты. Предположим, что в этих точках имеются некоторые постоянные емкости и что нити переносят вещество (или тепло) в количествах, пропорциональных разности концентраций (или температур) в их концевых точках. Если концентрация (или температура) в точке то уравнение диффузии имеет вид

где — постоянная диффузии и

Предположим, что только в одной точке пересечения, а именно в имеется единичная концентрация (или температура) в момент времени другие точки пересечения имеют нулевую концентрацию (или температуру). Мы хотим выяснить состояние сети при

Начальные условия имеют вид

Уравнение (8.17) имеет вид (8.1) с

Уравнением, соответствующим (8.2), будет

Это уравнение имеет общее решение

которое удовлетворяет начальным условиям

Мы хотим, чтобы (8.22) удовлетворяло условиям (8.19) для некоторых частных значений например для Тогда

Условия (8.3) удовлетворяются, если

Это уравнение типа, рассмотренного в § 5 гл. VII, с замененным на Ввиду условий (8.23), нам нужна функция влияния (7.24). Из обоих уравнений (8.24) получим

Подставляя это выражение в (8.21) и полагая имеем

Согласно Ватсону интегралы можно вычислить, что дает

Здесь - функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента.

Из (8.25) видно, что остается очень малой до момента времени, приблизительно (очень грубо) равного возле которого довольно быстро возрастает до своего единственного максимума, а затем убывает, асимптотически стремясь к