§ 4. Некритический случай

В этом параграфе мы предположим, что точка будет близка к поверхности Е, рассмотренной в § 3, но не близка ни к одной из критических точек Тогда линия, параллельная оси будет пересекать 2 в точке где

и мало. Теперь может быть использована теория § 8 гл. IX для изучения решения уравнения (11.1) с помощью характеристического уравнения

которое имеет пару сопряженных мнимых корней Здесь у является точным значением, получаемым из (11.9), если заменить на Поэтому у будет решением трансцендентного уравнения

и дается формулой

Уравнение (11.11) можно решить графически путем вычерчивания графиков его левой и правой частей и нахождения точек их пере-. сечения. Его можно также решить механически. Перепишем его в виде

где . Пусть круг единичного радиуса помещен в плоскости чертежа на фиг. 46 так, что он касается Горизонтальной линии в точке О. Тогда его центр будет в точке Р. Далее, пусть прямолинейный отрезок длины жестко соединенный с кругом, имеет один конец в его центре и направлен вертикально вниз от точки Р.

Фиг. 46.

Другой его конец обозначим Пусть теперь круг катится без скольжения вдоль линии а отрезок прямой вращается вместе с ним. Вращение продолжается до тех пор, пока точка не пересечет круг радиуса с центром в точке Р. Из простых геометрических соображений следует, что расстояние, на которое переместится круг, будет равно у.

Модель такого рода очень просто сделать из картона. К картонному кругу единичного радиуса нужно приклеить картонную линейку с линейной шкалой, представляющей расстояние измеренное от центра. Вдоль одной стороны картонного нужно нанести линейную -шкалу и вдоль другой стороны — линейную -шкалу, обе измеренные от вершины. Заданное значение <в прикалывается к точке Р так, что может вращаться вокруг этой точки. Затем круг катят и вращают до тех пор, пока их отметки не совпадут. После этого положение круга даст значение у. На чертежной доске этот процесс можно выполнить довольно быстро, что делает его полезным для предварительной оценки корней.

Для больших о) этот процесс становится непрактичным, но можно показать, что тогда у может, быть вычислено по формуле

при Здесь

где функция Бесселя первого рода порядка

Значения у, полученные механически или графически, могут быть улучшены численными методами, аналогичными методам § 7 гл. III.

Возьмем множество описанное в § 3 гл. IX, состоящим из двух простых корней Уравнение (11.1) можно отождествить с уравнением (9.43), а характеристическое уравнение с уравнением (9.46). Тогда в (9.46) будет иметь выражение, данное в (11.10), и

Согласно (9.55),

Так как то левая часть в (9.51) будет иметь вид

Следовательно, по (9.51),

Согласно (9.53),

По (9.59), уравнения усреднений имеют вид

где — действительные величины, такие, что

С помощью подстановки

уравнения (11.16) преобразуются в уравнения

Решение уравнения (9.19) имеет вид

где

и С — произвольная постоянная. Подставляя это выражение в (11.20) и интегрируя, получаем

где - произвольная постоянная. Следовательно, согласно (11.18),

Теперь мы должны исследовать выражения (11.19) — (11.23) в ряде различных случаев, в зависимости от знаков а и к и величины начального значения R по сравнению с

Случай 1: В этом случае из (11.19) или (11.21) получим, что решение уравнения (11.19) неустойчиво и когда возрастает до некоторого конечного предела. Следовательно, мы встречаемся со случаем неприменимости теории для больших решений.

Случай 2: В этом случае, в силу (11.21), при По (9.39), Согласно (9.60), Условия (9.61) удовлетворяются, если По (9.64),

Случай 3: В этом случае, в силу (11.19) или (11.21), решение уравнения (11.19) устойчиво, а решение неустойчиво. То есть если начальное значение R меньше, чем то при и как так и у стремятся к при С другой стороны, если начальное значение R больше, чем то когда возрастает до

некоторого конечного предела. В этом случае теория неприменима из-за неограниченного возрастания решения.

Случай 4: В этом случае, в силу (11.19) или при любых начальных значениях и, следовательно, при