Глава VII. НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

§ 1. Введение

Содержание этой главы аналогично содержанию гл. VI, за исключением того, что здесь мы имеем дело с уравнениями, в которые входят две или более независимых переменных, причем по одной из них производится дифференцирование, а по остальным берутся разности. Мы хотим по заданным начальным условиям найти явные выражения для решений этих уравнений.

Как обычно, переменную, по которой берутся разности, будем записывать в виде индекса. Так делается потому, что в большинстве приложений эти переменные принимают только целые значения. Однако в нашем случае индексы могут принимать и не целые значения.

Где возможно, мы будем придерживаться следующего порядка. Уравнение будет ставиться в заголовке. Затем будут указаны начальные условия и ограничения на входящие в уравнение функции. Далее уравнение будет решено, обычно с помощью преобразования Эйлера — Лапласа. Наконец, будет написано явное выражение для решения.

В § 5 и § 10 мы дополнительно рассмотрим функции влияния отдельных уравнений. § 11 будет посвящен исключительно функциям влияния этих уравнений.