§ 6. Уравнение y''_k(t)-y_k+1(t)+y_k(t) = w_k(t)

Это уравнение обобщает уравнение, которое изучал Бейтмен [4]. Функция интегрируема по в области I комплексной -плоскости и по для . Кроме того, аналитична по для и . Начальные условия состоят в том, что задана и интегрируема по в области и по для и аналитична по для

Уравнение можно перевисать в виде

Это уравнение получается из уравнения (1) приложения А при

и

По теореме 3 приложения А, уравнение (7.26) имеет единственное решение которое интегрируемо по в области и по на любом конечном интервале в области — 1 и аналитично по для

Поэтому должны существовать преобразования Эйлера — Лапласа функций и их производных по если область интегрирования лежит в Мы можем записать

Умножив уравнение (7.26) на проинтегрируем его от до и подставим найденные выражения:

Решение этого уравнения имеет вид

Следовательно, согласно (7.6),

где полиномы от Мы можем обратить это выражение по теореме 1.4. Для и имеем

Для обоих интегралов контуры интегрирования могут быть сделаны замкнутыми добавлением соответственно правой или левой полуокружности бесконечно большого радиуса. Так как подинтегральные выражения внутри этих контуров аналитичны, то интегралы оказываются равными нулю. Поэтому для